《数值计算基础》考试样卷
参考答案
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1 1
? 10?2?1 ??? 10?1 ? 0.00625 1、
2 ? 8 16
xk ? f ( xk ) 2、 xk ?1 ? x k ? 1 ? f ?( x k )
3、 6 4、 b-a 5、 O(h3)
三、解答题（每小题 10 分，共 50 分） 1、解：
? 2 4 0 5? ? 3 ?1 1 9???2 ?
r ? ) r2 ?( 1 ? 3 ?1 1 9? ?r?? ? 2 ?r1 3
?? 2 4 0 5????2 ?? ? ? ? ?r ? r3 ?3 1
??? ?2?2 0 3?? ? ?2?2 0 3???? ? ? ???3 ?1 1 9 ? ?3 ?1 1 9 ? ? ? ? ??4
r3 ? r2 14?2 7 ?0 14 ?2 ?1??????? ?0 ?1??
? ? ? ??3 3 3 3 ?? ?8 2? ? ?2 59 ?? 9 ? ?0 ?0 0
3 3 7 7 59 11 回代得 x3 ??, x x 2 ? 4, 1 ? ? 2 2
2、解：
?
8 分
2 分
1 6 f ( x) ? x 2 ? 6，f ' ( x) ? 2x,? ( x) ? x ??f ( x) ? 1 ( x ? 6)，x ? ( x ? ) 7 分n?1 n '
f ( x) 2 2 x n
x0 ? 2
1 6 5
(2 ? ) ? ? 2.500 2 2 2 1 5 12 49 x ( ? ) ? ? 2.4502 ?
2 2 5 20 x 1 ?
3 分
3、 解
法一： 待定系数法
2
0
1
2
设 P (x) ? a ? a x ? a x 2 ，则 （3 分）
?a0 ? a1 ? a2 ? ?a0 ? 1
??1
??
?a0 ? 2a1 ? 4a2 ? 3 ? ?a1 ? ??1 ???
?a0 ? 3a1 ? 9a2 ? ?a2 ? 1 7 即 P (x) ? x 2 ? x ?1
2
（3 分）
（1 分）
法二：Lagrange 插值法
P2 ( x) ? ? yi li ( x)
i ?0
2
(3分) (3分)
( x ? 2)( x ? 3) ( x ? 1)( x ? 3) ( x ? 1)(x ? 2)
?1 ? ? 3 ? ? 7
(1 ? 2)(1 ? 3) (2 ? 1)(2 ? 3) (3 ? 1)(3 ? 2) ? x 2 ? x ? 1 ?
(1分)
法三：Newton 插值法
xi 1 2 3
??
yi 1 3 7 一阶差商 2 4 1 二阶差商 （3 分） （4 分）
N 2 ( x) ??f ( x0 ) ? f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) ? f [ x0 , x1 , x2 ]( x ? x0 )( x ? x1 )
? 1 ? 2( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 2)
? x 2 ? x ? 1
?
4、
余项为 R2 ( x) ??f ??(? ) ? ( x ?1)(x ? 2)(x ? 3)
6
（3 分）
解：
令 f (x) ? 1, x 时，该公式精确成立，则 2 分
? A 1 A ? B ? 2h? ? ? 2 h??
? ? ?1 ? A ? B ? 0?3
B ? h ? 3
2
即
4 分
?
h ?h
1 3 1 f ( x)dx ? hf (?h) ? hf (h)
2 2 3
2
1 分
令 f (x) ? x
左=
2 3 1 3 1 2 2 3 2
，右= h ? (? h) ?? h ? ( h) ?? h? 左 ?? h x dx ?? 3 h2 2 3 3
h
2
1 分
令 f (x) ? x3
h
3
3 1 43
左= ??x dx ? 0 ，右= h ? (? h)??h ? ( h)? ??h 4 ? 左
?h 2 2 3 9
3
1
1 分 1 分
即公式的代数精度为 2 次 5、解： 使用欧拉法计
算公式为
yn?1 ? yn ? hf ( xn , yn ) ? yn ? h( xn ? yn ) ? (1 ? h) yn ? hxn ? 1.5 yn ? 0.5xn
6 分
y1 ? 1.5 y0 ? 0.5x0 ? 1.5 ?1 ? 0.5 ? 0 ? 1.500
2 分
y2 ? 1.5 y1 ? 0.5x1
? 1.5 ?1.5000 ? 0.5 ? 0.5 ? 2.500
四、综合题（每小题 10 分，共 20 分）
2 分
1、解：
y( xn?1 ) ? y( xn
) ? ??
xn ?1
xn
h
xn?1 , yn?1 )] ? yn?1 ? yn ??[ f ( xn , yn ) ? f (
2
h
f ( x, y( x)dx ??[ f ( xn , y( xn )) ? f ( xn?1 , y( xn?1 ))]
2
4 分
阶次的证明：
3
? O(h) 即证 y(xn?1 ) ? y n?1
y( x xn ) ? y?( xn )h ? n?1 ) ? y(
h yn?1 ? yn ? [ f ( xn, yn ) ? f ( x n?1 , yn?1 )]
2
y? ( xn ) 2
h ? O(h3 ) 2
(1) 2 分
令 yn ? y(xn ) ，右边的 yn?1 ? y(xn?1 )
h
yn?1 ? y( xn ) ??[ f ( xn , y( xn )) ? f ( xn?1 , y( xn?1 ))]
2
h y? ( xn )
? y( xn ) ? [ y?( x n) ? y?( xn ) ? h ? O(h 2 )]
2 1
y? ( xn ) 2
? y( xn ) ? y?( xn )h ? h ? O(h 3 )
2
(1)－(2),得
3
y(x ) ? y n?1 n?1 ? O(h)
(2) 2 分
2 分
2、
证明： 显
然
l0 (x0 ) ? 1, l0 (x1 ) ? 0, l0 (x2 ),...l0 (xn ) ? 0
l( x) l( x) 1
l0 [ x0 , x1 ,? xk ] ? ??0 i ? 0 0 ?? ?( xi ) ? ?( x0 ) ( x0 ? x1 )(x0 ? x2 )?( x0 ? xk ) i ?0 ?
则 l0(x)的牛顿插值多项为：
k
2 分
2 分
?
( x ? x0 )(x ? x1 )...(x ? xn?1 ) ( x ? x0 ) ?( x ? x0 )(x ? x1 )
? ... ??N n ( x) ? 1 ? ?( x0 ? x1 ) ( x0 ? x1 )(x0 ? x2 ) ( x0 ? x1 )(x0 ? x2 )...(x0 ? xn )
2 分
又因为 l
( n?1)
0
( x) ? 0 ，故有
( n?1)
l(? ) 0 )(x ? x )...(x ? x) ? 0 l 0 ( x) ? Nn ( x) ? ( x ? x0 1
(n ? 1)!
2 分
所以有
( x ? x0 ) ?( x ? x0 )(x ? x1 ) ( x ? x0 )(x ? x1 )...(x ? xn?1 ) ? ... ??l0 ( x) ? N n ( x) ? 1 ? ?
( x0 ? x1 )(x0 ? x2 )...(x0 ? xn ) ( x0 ? x1 ) ( x0 ? x1 )(x0 ? x2 )
2 分
数值计算方法期末模拟试题二
一、
1、设
填空（共 20 分，每题 2 分）
，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x= .
2、设一阶差商
，
则二阶差商
3、数值微分中，已知等距节点的函数值
则由三点的求导公式，有 4、求方程
的近似根，用迭代公式 ，取初始值
， 那么
5、解初始值问题
近似解的梯形公式是
6、
，则 A 的谱半径
＝，A 的
7、设
，则
＝
＝
和 ＝
8、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅可
比迭代和高斯-塞德尔迭代都 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为