2014年1月期末试题分类汇编——几何综合
（2014·石景山1月期末·25）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转,旋转角为
，旋转后使各边长变为原来的n倍，得到△AB?C?,我们将这种变换?（0????90?）记为[?,n]．
（1）如图①,对△ABC作变换[60,3]得△AB?C?，则S△AB?C?：S△ABC
= ___；直线BC与直线B?C?所夹的锐角为 __ °；
（2）如图②，△ABC中，?ACB?90,?BAC?30，AC?3，对△ABC 作变换
[?,n]得△AB?C?，使得四边形ABB?C?为梯形，其中AB∥B?C?,且梯形
???ABB?C?的面积为123，求?和n的值．
图?
图? 25. 解：（1） 3 ， 60 ………………………………………2分 （2） 由题意可知：△AB?C?∽△ABC
AC?B?C???nACBC
?AB//B'C',??BAC'?90???C???C?90?,
在Rt△ABC中,AB????90?-?BAC?60?……………………………4分
AC1?2，BC?AB?1
cos30?2?? ?AC'?3n,BC?n………………………………5分
?在直角梯形ABB?C?中，
1?AB?B?C??AC? 21??2?n?3n?123…………………………6分
2 ?n?4,n??6?舍去? ………………………………7分
S? ???60,n?4
1
?（2014·西城1月期末·24）已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中
点，连接AD，BE.
（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系； （2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转?（0o≤?≤90o）角，
如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；
（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转?（0o≤?≤90o）角，作DH⊥BC
于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
24．（1）
图1
图2
备用图
AD?3，AD?BE． ........................................................................................ 2分 BE （2）证明：连接DM，AM．
在等边三角形ABC中，M为BC的中点，
1AM∴ AM?BC，?BAM??BAC?30?，?3．
2BM∴ ?BME??EMA?90?．
DM同理，?3，?AMD??EMA?90?．
EMAMDM，?AMD??BME． ········ 3分 ?BMEM∴ △ADM ∽△BEM．
ADDM∴ ??3． ............................................................................... 4分
BEEM延长BE交AM于点G，交AD于点K． ∴ ?MAD??MBE，?BGM??AGK． ∴ ?GKA??AMB?90?． ∴ AD?BE． ........................................................................................... 5分
∴
（3）解：(ⅰ)当△DEF绕点M顺时针旋转?(0o≤?≤90o)角时，
∵ △ADM ∽△BEM， SAD2∴ ?ADM?()?3．
S?BEMBE2
1∴ S?BEM?S?ADM
3∴ S?S?ABM?S?ADM?S?BEM?S?DEM
2?S?ABM?S?ADM?S?DEM
31211??3?33???33(x?3)??1?3 2322?3x?3．
∴ S?3x?3 （3≤x≤3?3）． ...................................................... 6分 (ⅱ) 当△DEF绕点M逆时针旋转?(0o≤?≤90o)角时，可证△ADM∽△BEM，
SBM21 ∴ ?BEM?()?．
S?ADMAM31∴ S?BEM?S?ADM．
3∴ S?S?ABM?S?BEM?S?ADM?S?DEM
2?S?ABM?S?ADM?S?DEM
3?9213 3???33(3?x)?2322?3x?3．
∴ S?3x?3(3?3≤x≤3)．
综上，S?3x?3(3?3≤x≤3?3)． ....................................................... 7分
（2014·海淀1月期末·24）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ，且AB>CE． （1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE； （2）如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD，BG=BD. ①求?BDE的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值.
ADAGFD
GBE图2
BC图1
CEF3
24. （本小题满分7分）
解：（1）证明：
∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC?DC，CG?CE，?BCD??GCE?90?. ∴?BCD??DCG??GCE??DCG.
即：?BCG??DCE. ……………………1分
ADGFBC∴△BCG≌△DCE.
E∴BG?DE.………………………………2分
（2）①连接BE .
由（1）可知：BG=DE. ∵CG//BD，
∴?DCG=?BDC?45?.
∴?BCG??BCD??GCD?90??45??135?.
DA∵?GCE?90?,
∴?BCE?360???BCG??GCE?360??135??90??135?. ∴?BCG=?BCE.…………………………3分 ∵BC?BC，CG?CE,
BC∴△BCG≌△BCE.
∴BG?BE.………………………………4分 ∵BG?BD?DE, ∴BD?BE?DE.
∴△BDE为等边三角形.
∴?BDE?60?. …………………………5分
②正方形CEFG的边长为3?1. ……………………………………………7分
（2014·朝阳1月期末·25）将△ABC绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△DBE，直线DE与直线AC相交于点F，连接BF．
GFE（1）如图1，若α=60°，DF=2AF，请直接写出（2）若DF=mAF，（m>0，且m≠1）
AF等于 ； BFAF；（用含α，m的式子表示） BFAF②如图3，依题意补全图形，请直接写出等于 ．（用含α，m的式子表示）
BF①如图2，求
图1 图2 图3
4
25.解：（1）1． ………………………………1分 （2）①如图2，在DF上截取DG，使得DG=AF，连接BG．
由旋转知，DB=AB，∠D=∠A．
∴△DBG≌△ABF．
图2
∴BG=BF，∠GBF=α． ………………3分 过点B作BN⊥GF于点N， ∴点N为GF中点，∠FBN=?． 2在Rt△BNF中，NF=BF?sin∴GF=2BF?sin?2， ?2． ∵DF=DG+GF， ……………………4分 ∴mAF=AF+2BF?sin (m-1)AF=2BF?sin?2 2． ?∴AF2??sin． ……………5分 BFm?12②如图3，画图正确． …………………6分 2?sin． ………………………8分 m?12 注明：以上各题的其它的正确解法，酌情给分.
5
图3