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www.jyeoo.com 所以所求函数关系式为②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB=所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， ， 令y′=0得sin当以当θ=时，，因为，所以θ=， 时，y′＞0，y是θ的增函数，所km时，y′＜0，y是θ的减函数；当．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边处． 点评： 本小题主要考查函数最值的应用． ①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧． ②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点． 18．（15分）（2008?江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C． （1）求实数b的取值范围； （2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论． 考点： 二次函数的图象；圆的标准方程． 专题： 计算题． 分析： （1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围； （2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程； 22（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x0+y0+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为x0，y0不依22赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x0+y0+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标． 解答： 解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）； 2令f（x）=x+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0． 22（2）设所求圆的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0 22令y=0得x+Dx+F=0这与x+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b． 2令x=0得y+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1． 22所以圆C的方程为x+y+2x﹣（b+1）y+b=0． （3）圆C必过定点，证明如下： 假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程， 2
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www.jyeoo.com 22并变形为x0+y0+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*） 22为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x0+y0+2x0﹣y0=0，解得 经检验知，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（﹣2，1）和（0，1）． 点评： 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题． 19．（15分）（2008?江苏）（1）设a1，a2，…，an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i）当n=4时，求
的数值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，bn，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 考点： 等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质． 专题： 探究型；分类讨论；反证法． 分析： （1）根据题意，对n=4，n=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况． （2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可． 解答： 解：（1）①当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0． 若删去a2，则a3=a1?a4，即（a1+2d）=a1?（a1+3d）化简得a1+4d=0，得若删去a3，则a2=a1?a4，即（a1+d）=a1?（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得综上，得或． 2222 ②当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项． 2若删去a3，则a1?a5=a2?a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）?（a1+3d）化简得3d=0，因为d≠0，所以a3不能删去； 当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an﹣2，an﹣1，an中，由于不能删去首项或末项， 若删去a2，则必有a1?an=a3?an﹣2，这与d≠0矛盾； 同样若删去an﹣1也有a1?an=a3?an﹣2，这与d≠0矛盾； 若删去a3，…，an﹣2中任意一个，则必有a1?an=a2?an﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项） 综上所述，n=4． （2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，bn，其中bx+1，by+1，bz+1（0≤x222＜y＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则by+1=bx+1?bz+1，即（b1+yd）=（b1+xd）?（b1+zd），化简得（y2﹣xz）d=（x+z﹣2y）b1d（*） 2由b1d≠0知，y﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0 2当y﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾． 故y﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得2 因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数． ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列． 例如n项数列1，，，…，满足要求． 点评： 本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力． 20．（15分）（2008?江苏）已知函数
，
（x∈R，p1，p2为常数）．函数
f（x）定义为：对每个给定的实数x，
（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）； （2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为
（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）
考点： 指数函数综合题． 专题： 计算题；压轴题；分类讨论． 分析： （1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f2（x）对所有实数x成立等价于x均成立，分析容易得证；再证必要性：，即|p1﹣p2|≤log32， ，即对所有实数对所有实数x均成立等价于（2）分两种情形讨论：①当|p1﹣p2|≤log32时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p1﹣p2|＞log32时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度． 解答： 解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于，即对所有实数x均成立．（*） 由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|， 故（*）等价于（2）分两种情形讨论 （i）当|p1﹣p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]） 则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知， ，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件 再由的单调性可知， 函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度 为（参见示意图） ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com （ii）|p1﹣p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，则p2﹣p1＞log32，于是 当x≤p1时，有当x≥p2时，有从而（fx）=f（；当p1＜x＜p2时，2x）解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为显然， ，及（1） ，由方程，从而f（x）=f1（x）； 这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知 综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图） 故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b﹣p2），由于f（a）=f（b），即故由（1）、（2）得综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为． ，得p1+p2=a+b+log32（2） 点评： 考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法． 21．（2008?江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求
2
证：ED=EB?EC．
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考点： 与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明． 分析： 根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得． 解答： 证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦， 所以∠CAE=∠CBA． 又因为AD是DBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD 所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE 所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED． 2又EA=EC?EB， 2所以ED=EB?EC． 点评： 此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB和EC的乘积． 22．（2008?江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x+y=1在矩阵
2
2
对应的变换作用下得到曲线F，求F的
方程． 考点： 圆的标准方程；矩阵变换的性质． 专题： 计算题． 分析： 由题意先设椭圆上任意一点P（x0，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x0′，y0′），得到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简． 解答： 解：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点， 则点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x0′，y0′） 则有，即22，所以2 2又因为点P在椭圆上，故4x0+y0=1，从而（x0′）+（y0′）=1 22所以，曲线F的方程是x+y=1 点评： 本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目． 23．（2008?江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆 考点： 椭圆的参数方程． 专题： 计算题；转化思想． 上的一个动点，求S=x+y的最大值．
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