北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（理）试题 2013.1
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数
2化简的结果为 A.1?i B.?1?i C. 1?i D.?1?i 1?i?x?2?t,?x?2cos??1,l:C:t2.已知直线?（为参数）与圆（?为参数），则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐??y??2?t?y?2sin?3π3π,(1,0) D.,(?1,0) 44113.向量a?(3,4),b?(x,2), 若a?b?|a|,则实数x的值为 A.?1 B.? C.? D.1
23标分别是 A.,(1,0) B.,(?1,0) C.
4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p为24，则输出的n,S的值分别为 A.n?4,S?30 B.n?5,S?30 C.n?4,S?45 D.n?5,S?45 5.如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A,B两点， 弦CD垂直AB于E. 则下面结论中，错误的结论是 ．．Ａ.?BEC∽?DEA B.?ACE??ACP C.DE2?OE?EP D.PC2?PA?AB
BOCPπ4π4开始 输入p n?1，S?0 S?p 是 否 S=S+3n 输出n，S 结束 EDAn?n?1 *6.数列?an?满足a1?1,an?1?r?an?r（n?N,r?R且r?0），则“r?1”是“数列?an?成等差数列”的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B.120 C. 108 D.72
x2y28. 椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得?F1F2P为
ab1212111等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 A.(,) B.(,1) C. (,1) D.(,)(,1)
3323322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 以y??x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为__________________.
10.数列{an}满足a1?2,且对任意的m,n?N*，都有
an?m?an，则a3?_____;{an}的前n项和Sn?_________. am111. 在(?3x2)6的展开式中，常数项为__________.(用数字作答)
x12. 三棱锥D?ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示， 则棱BD的长为_________.
AD4C?x?0,?
13. 点P(x,y)在不等式组 ?x?y?3,表示的平面区域内，
?y?x?1?
若点P(x,y)到直线y?kx?1的最大距离为22，则k?________.
2B2主视图23左视图
14. 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体ABCD表面上运动，且PA?r?1A1BC1D11（0?r?3），记点P的轨迹的长度为f(r)，则f()?_____;关于r的方程f(r)?k的解的个数可以为________.
2（填上所有可能的值）.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
xxx115. （本小题满分13分）已知函数f(x)?3sincos?cos2?，?ABC三个内角A,B,C的对边分别
2222为a,b,c. （I）求f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）若f(B?C)?1,a?3,b?1，求角C的大小.
16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 B 型 车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5 车辆数 5 10 30 35 15 3 2
（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率； （Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?90?，AB?AC?AA1?2,E是BC中点. （I）求证：A1B//平面AEC1；
（II）若棱AA1上存在一点M，满足B1M?C1E，求AM的长； （Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.
AECA1C1B1B
eax. 18. （本小题满分13分）已知函数f(x)?x?1（I） 当a?1时,求曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.
19. （本小题满分14分）已知E?2,2?是抛物线C:y2?2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点（不同于点E），直线EA,EB分别交直线x??2于点M,N.
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O为原点，求证：?MON为定值.
20. （本小题满分13分）已知函数f(x)的定义域为(0,??)，若y?阶比增函数”；若y?f(x)在(0,??)上为增函数，则称f(x)为“一xf(x)在(0,??)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”. x2我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为?1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为?2. (Ⅰ)已知函数f(x)?x3?2hx2?hx，若f(x)??1,且f(x)??2，求实数h的取值范围； (Ⅱ)已知0?a?b?c，f(x)??1且f(x)的部分函数值由下表给出，
x f(x) 求证：d(2d?t?4)?0；
a d b d c a?b?c t 4 (Ⅲ)定义集合??f(x)|f(x)??2,且存在常数k,使得任取x?(0,??),f(x)?k,
??请问：是否存在常数M，使得?f(x)??，?x?(0,??)，有f(x)?M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 [YJY.COM/]6 A 7 C 8 D D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）
12．42 13．?1 14．9．x2?y2?4 10．8; 2n?1?2 11.135 3π; 0,2,3,4 4xxx1解：（I）因为f(x)?3sincos?cos2?
22223cosx?11?sinx?? 22231?sinx?cosx22π ?sin(x?) ??????6分
6（2kπ? 又y?sinx的单调递增区间为
ππ,2kπ?） ，(k?Z) 22所以令2kπ?πππ2ππ?x??2kπ? 解得2kπ??x?2kπ? 262332ππ,2kπ?) ，(k?Z) ??????8分 33所以函数f(x)的单调增区间为(2kπ?π (Ⅱ) 因为f(B?C)?1,所以sin(B?C?)?1，
6ππ7π又B?C?(0,π)，B?C??(,)
6662ππππ ?????10分 所以B?C??,B?C?， 所以A?36231sinBsinA 把a?3,b?1代入，得到sinB? ??????12分 ?由正弦定理
2ba
又b?a,B?A，所以B?ππ，所以C? ??????13分 6616.（本小题满分13分）
解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为
出租天数为3天的A型车辆数30??0.6
出租天数为3天的A,B型车辆数总和30?20这辆汽车是A型车的概率为0.6 ???3分 （II）设“事件Ai表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i天”，
“事件Bj表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i,j?1,2,3,...,7 则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
P(A1B3?A2B2?A3B1)?P(A1B3)?P(A2B2)?P(A3B1) ??????5分
?P(A1)P(B3)?P(A2)P(B2)?P(A3)P(B1) ??????7分
52010203014?????100100100100100100
9?125? 该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
9 125 ??????9分
（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为
1 2 3 4 X 5 0.15 6 0.03 7 0.02 P 0.05 0.10 0.30 0.35
设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为
Y P =3.621 0.14 2 0.20 3 0.20 4 0.16 5 0.15 6 0.10 7 [Y.COM/]0.05 E(X)?1?0.05?2?0.10?3?0.30?4?0.35?5?0.15?6?0.03?7?0.02
E(Y)?1?0.14?2?0.20?3?0.20?4?0.16?5?0.15?6?0.10?7?0.05
?????12分 =3.4 8一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . ??????13分 17.（本小题满分14分）
(I) 连接A1C交AC1于点O，连接EO