pppcosl?(mp2?k)sinlaaapEApp?tgl??Ui(x)?Disinixaa(mp2?k)a 所以
EA 这就是我们所要求的频率方程
?l?AUUdx?0(i?j)ij??0?l???AUiUjdx?Mpj(i?j)Mpj为第j阶主质量?0所以主振型关于质量的正交性主振型关于刚度的正交性为
解：⑴ 该题中杆的振动方程为：
u(x,t)?U(x)[Acospt?Bsinpt]...........<1>
(a2?E/?) 其中U(x)?Ccos(px/a)?Dsin(px/a).........由于边界条件中U（0）=0 代入U（x）中得C=0
再将U（x）代入<1>中 ，由<1>知： ?upDplsin(Acospt?Bsinpt)?xx?l=aa
?2upl2??pDsin(Acospt?Bsinpt)2a?tx?l
再由边界知： ?uEA?x??ku(x)x?lx?l?2u?m2?tx?l
plp(mp2?k)?EAaa 得：aplEAtan?amp2?k 即：p⑵ 已知方程
tan?2u??u?A2?(EA)?x?x?tddU(EA)???p2AUdxdx取一特解Ui,pi2及另一特解Uj,p2j将?1?代入该式中得dUd得：(EAi)??pi2A?Ui.......?2?dxdx
lldUid2U(EA)dx??pji?A?UiUjdx?00dxdx由?2?乘并对杆积分得
llldUidUidUj2Uj(EA)??EAdx??pi?A?UiUjdx...............?3?00dxdxdx0所以
?uEA?x由EAx?l?2u??ku(x)x?l?m2?tx?l
得：
dU(x)?(mp2?k)U(l)dxx?l及U(0)?0代入?3?得p[mUi(l)Uj(l)??A?UiUjdx]??EAUi'U'jdx?kUi(l)Uj(l).....?4?002illi,j互换p[mUi(l)Uj(l)??A?UiUjdx]??EAUi'U'jdx?kUi(l)Uj(l).....?5?002jll两式相减得：?A?UiUjdx?mUi(l)Uj(l)??ij0l将上式代入?5?得?EAUi'U'jdx?kUi(l)Uj(l)?p2j?ij0l 所以，其解为正交。