1998等数学下册统考试卷及解答
一、试解下列各题
1、[4分]设?是由x2?y2?z2?2z所确定的立体，试将???f(x2?y2,z)dv化成
?球面坐标下的三次积分。
解：在球坐标下x2?y2?z2?2z为?2?2?cos?,?0???2cos?,?0???补充0???2?，
?2?22cos??2
从而???f(x2?y2,z)dv???d??d??000f??sin?,?cos???sin?d?222
dx?1x1xdy?0
2、[4分]设L是在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明?解：当x?0时P?二、试解下列各题
1、[3分] 设z?xy，求z?x,z?y
y?1y?yx,z??xlnx 解：z?xyyx2Lyx2,Q??1x,?Py?1x2?Qx,由定理故有?yx2Ldx?dy?0
2、[3分] 设z?2xy，求z?x 解：z?x?2xyln2?y?2xyyln2
3、[3分] 设u?f(x)g(y)p(z),f,g,p可导，求u?x,u?y,u?z
??f(x)g(y)p?(z) ?f?(x)g(y)p(z),u??f(x)g?(y)p(z),uz解：u?xy三、试解下列各题
1、[3分]设?an?单调减少，且收敛于0，问级数?an是否收敛？
n?1??解：?an不一定收敛。例如an?n?11n?单调减少，且收敛于0，但?n?1?1n发散；
而an?1n2单调减少，且收敛于0，但?n?11n2收敛。
?2、[3分]试证：级数?n?111n是发散的。
lnlnxlimlnlnxxlim10lnnxlnlnx证：令f?x???lnx?x?e，limex???x?ex????ex???xlnx?e?1
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所以lim1lnnn??n?1?0，从而级数?n?1?1n是发散的。
lnn四、 计算下列各题
1、[6分]利用极坐标计算二重积分?dy?0aa?y022(x?y)dx（a?0）
22解：D:0?x?a2?y2,0?y?a 在极坐标下为D:0?rcos??a?rsin?,0?rsin??a,?0?r?a,0???a0222?2
?a0dy?a?y022?(x?y)dx?22?20d??rrdr?2?a424??a84
2、[6分] 设
f(x,y)为连续函数，交换二次积分
0??1?2dy?0?2?yf(x,y)dx??0?1dy???yf(x,y)dx的积分次序。
x?解：由上下限知积分区域D两部分为?2?y?1?,?2y??1?y?0,??y?x?0，作图发现即为D:?1?x?0,x?2?y??x
22及0?0?x2故原式??dx??1x?22f?x,y?dy
3、[6分] 计算??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy，其中?是立方体0?x?a，0?y?a，
?0?z?a表面的外侧，a?0。
aaa解：??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy??aaaaa???2?x?y?z?dv?2?dx?dy??x?y?z?dz
?000a22??z?a?233???2?dx??xz?yz?dy?2dxxa?ya?dy?2xa?adx?3a ????????22?0?00?00?0aaa3或由对称??xdydz?ydzdx?zdxdy??222???2?x?y?z?dv?6?dx?dy?zdz?3a
?000五、 解答下列各题 1、[5分] 求全微分方程y?2y22y2?(x?2y?4xy3)y??0的通解。
2y2解：原式即ydx?dx?(x?2y?4xy)dy?0,ydx?xdy?2ydy?3dx?4xy3dy?0
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d(xy)?dy?22y2dx?xd2y2?2x?2x22?0,d?xy?y?2??0,xy?y?2?cy?y?为通解
另解法：ydx??x,y?2y2dx?(x?2y?4xy)dy?0,Py?1?3y4y3?Qx
x?2?4xu?x,y????y?2?dx?(x?2y?3)dy?y?y?0,1???(0?2y?10y)dy?3?(y?02y)dx?y?1?yx?222y2x由此推出xy?y2?2xy2?c为通解
22、[5分]已知P(x,y)?e2x?xsiny，试问是否存在函数u(x,y)，Q(x,y)?xcosy，
使得du?Pdx?Qdy？
解：因为Py?(x,y)?xcosyQx?(x,y)?2xcosy?Py??x,y? 所以不存在函数u(x,y)，使得du?Pdx?Qdy 六、解答下列各题
?1、[5分] 判别级数?n?1n?1e?1n2的敛散性。
(n?1)?1e?1en?12n解：un?n?1e?1?n2,limun?1unn???limn???1n?12?1e?1
故正项级数?n?1n?1e?1n2的收敛
2、[5分]设f(x)在[?L,L]内有连续的导函数，且f(?L)?f(L)]。已知f(x)展成以2L为周期的傅立叶级数的系数为a0,an,bn,n?1,2,...。试用a0,an,bn表示f?(x)的傅立叶级数的系数A0,An,Bn,n?1,2,... 解
A0?1LL：
??Lf??x?dx?1Lf?x?L?L?0An?1LL??Lf??x?cn?xLdx?Lf?x?n?xLLL?L?L??Lf?x??n?Ln?xLdxo共5页第3页
?0?1n?LLL??Lf?x?sinn?xLdx?n?Lbn,n?1,2,...
Bn?1LL??Lf??x?sinn?xLn?xLdx?1L[f?x?sinn?xL]L?L?1LL??Lf?x?n?Lcosn?xLdx?0?1n?LLL??Lf?x?cosdx??n?Lan,n?1,2,...
注意用f?x?的展开式求导来推不给分！因缺乏理论依据。 七、解答下列各题
1、[7分]利用二重积分计算由曲面z?x2?y2,y?1,z?0,y?x2所围成的曲顶矩体的体积
11解：V?1???x?y2D2?dxdy???1dx??x?y2x22?dy?1?226?x1?x?(1?x)?dx ????3??1?111?68?2?11146? ?2??x?x?(1?x)?dx?2??????335321105???0?2、[7分]利用曲线积分计算椭圆圆周?1212??x?acost?y?bsint(0?t?2?)所围成的面积。
解：S???bsint???asint??acost?bcost??dt??ab ??xdy?ydx?2??L?03、[7分]试求在极坐标下由r?a(1?cos?)(a?0)所确定图形的面积。 解：由r?a(1?cos?)(a?0)知0?r?a(1?cos?),???????
?a(1?cos?)??2S???d??D???d??02rdr???a(1?cos?)?0d??4a2?cos04?2d?
?2?8a2?costdt?8a0431?422?3?2a2
八、解答下列各题
1、[6分]利用近似公式(1?x)大误差。 解：(1?x)?13?13?1?x3?29x2时，试估计当x?0.05时所产生的最
?1?x3?29x?21481x??在??1,1?内收敛
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??(1?x)?13x22?143???1??x??x
3981??14810.053当x?0.05时，???35162?110000
2、[6分]求微分方程y???2y??2y?0的一条积分曲线，使其在点(0,1)处有水平切线。
解：特征方程r2?2r?2?0,r1,2?1?i,y?ex?c1cosx?c2sinx?为通解 由过点(0,1)知1?e0?c1cos0?c2sin0?,?c1?1 由在点(0,1)处有水平切线知
y??0??0,0?e0?cos0?c2sin0??e0??sin0?c2cos0?,?c2??1。
从而y?ex?cosx?sinx?为所要求的特解
3、[6分]设z?x??(xy)，其中?是具有连续导数的函数，试消去?建立z(x,y)所满足的一个一阶偏微分方程。 解：u?xy,?z?x?z?x?1?y??(u),?z?y?0?x??(u),?x?z?x?x?xy??(u)x?x?y?z?y
即x?y?z?y?x为z(x,y)所满足的一个一阶偏微分方程。
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