2．1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
双基达标 （限时20分钟）
1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )． A．(±13，0) C．(0，±13)
B．(0，±10) D．(0，±69)
解析 由题意知，椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)． 答案 D
2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )．
3322A.2 B.4 C.2 D.3
y21
解析 将椭圆方程x＋4y＝1化为标准方程x＋1＝1，则a2＝1，b2＝4，c
4
2
2
2
3c3
＝a2－b2＝2，故离心率e＝a＝2. 答案 A
6
3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是3，则椭圆C的方程为( )． x22
A.3＋y＝1 x2y2
C.3＋2＝1
2y
B．x2＋3＝1
x2y2
D.2＋3＝1
c6
解析 因为a＝3，且c＝2，所以a＝3，b＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方x22
程为3＋y＝1.
答案 A
4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．
解析 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(5)2，即a2＝4.
x22y22
所以椭圆的标准方程是4＋y＝1或4＋x＝1. x22y22
答案 4＋y＝1或4＋x＝1
x2y21
5．已知椭圆＋9＝1的离心率为2，则k的值为________．
k＋8c2k＋8－91
解析 当k＋8>9时，e＝a2＝＝4，k＝4；
k＋8
2
c29－k－815
当k＋8<9时，e＝a2＝9＝4，k＝－4.
2
5
答案 4或－4 x22
6．求椭圆4＋y＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． x2y2
解 已知方程为4＋1＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝4－1＝3，因此，椭圆c3
的长轴的长和短轴的长分别为2a＝4，2b＝2，离心率e＝a＝2，两个焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)．
综合提高 （限时25分钟）
7．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝( )． 11
A.4 B.2 C．2 D．4 y2
解析 将椭圆方程化为标准方程为x＋1 ＝1，
m
2
1
∵焦点在y轴上，∴m>1，∴0 m，b＝1.∵a＝2b，∴m 1＝4. 答案 A x2y2 8．过椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )． 5311A.2 B.3 C.2 D.3 2c4c 解析 记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心 332c 率e＝2a＝答案 B 3 9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． x2y2 解析 依题意，设椭圆G的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12. 3 ∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为2， a2－b236－b2c33 ∴e＝a＝a＝2，∴＝ 62， x2y2 ∴b＝9.∴椭圆G的方程为36＋9＝1. 2 |F1F2|2c3 ＝2c4c＝3，故选B. |PF1|＋|PF2| ＋33 x2y2 答案 36＋9＝1 10．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心3 率为5的椭圆的标准方程为________． a＋b＝92，??c3?a＝5由题意知?＝，解得? a5?b＝4??a2＝b2＋c2， 2，2. 解析 但焦点位置不确定． x2y2x2y2 答案 50＋32＝1或32＋50＝1 11．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A(2，－6)．求椭圆的标准方程． 解 法一 依题意a＝2b. x2y2 (1)当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为4b2＋b2＝1. 436 代入点A(2，－6)坐标，得4b2＋b2＝1，解得b2＝37， ∴a2＝4b2＝4337＝148， x2y2 ∴椭圆的标准方程为148＋37＝1. y2x2 (2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为4b2＋b2＝1. 364 代入点A(2，－6)坐标得4b2＋b2＝1， ∴b2＝13，∴a2＝52. y2x2 ∴椭圆的标准方程为52＋13＝1.综上所述， x2y2y2x2 所求椭圆的标准方程为148＋37＝1或52＋13＝1. x2y2 法二 设椭圆方程为m＋n＝1(m>0，n>0，m≠n)， 436 由已知椭圆过点A(2，－6)，所以有m＋n＝1.① 由题设知a＝2b，∴m＝2n，② 或n＝2m，③ 由①②可解得n＝37，∴m＝148. 由①③可解得 m＝13，∴n＝52. x2y2x2y2 所以所求椭圆的标准方程为 148＋37＝1或13＋52＝1. 12．(创新拓展)已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)． (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围． 解 (1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝3. E的标准方程为x2y2 ∴所求椭圆4＋3＝1. (2)设M(xxx20y200，y0)(0≠±2)，则4＋3＝1. MP→＝(t－x0，－y0)，MH→＝(2－x0，－y0)， 由MP⊥MH可得MP →2MH→＝0， 即(t－x0)(2－x0)＋y2 0＝0. 由①②消去y10，整理得t(2－x0)＝－4x20＋2x0－3. ∵x13 0≠2，∴t＝4x0－2.∵－2 ① ②