?OWy题2.15.1图
原点的重力势能设为0.设弹簧最大伸长?max.整个过程中，只有重力做功，机械能守恒：
W12?1W212???v?k????g?????k?max?00max0 ①-② 2g2g2??W?k?0?联立①②得
?max??0?v0?0
g 弹簧的最大张力即为弹簧伸长最长时的弹力，Tmax为最大张力，即
?v0?
Tmax?k?max?W?1??g?0????
1.26解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系.
OTm
m?- 36 -
题1.26.1图
设绳的弹性系数为k,则有
mg?kb ①
当 m?脱离下坠前，m与m?系统平衡.当m?脱离下坠前，m在拉力T作用下上升，之后作简运.运动微分方程为
? ② mg?k?y?a??m?y联立①② 得
???yga?b ③
y?gbb???ygy?0 b齐次方程通解
Y1?A1cosgg t?A2sintbb非齐次方程③的特解
Y0?a?b
所以③的通解
Y1?A1cosggt?A2sint?a?b bb代入初始条件：t?0时，y?a?b?c,得A1?c,A2?0；故有
y?ccosgt?a?b b即为m在任一时刻离上端O的距离.
1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.
- 37 -
N??
mg题1.27.1图运动的轨迹的切线方向上有:
mgsin??mdv ① dt法线方向上有：
v2 ②
mgcos??N?mR对于①有gsin??dv?dvds（s为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即
dtdsdtvdv?gsin?ds
又因为
Rd??ds
即
vdv?gsin?Rd? ③
设质点刚离开圆柱面时速度v0，离开点与竖直方向夹角?0，对③式两边积分
?刚离开圆柱面时N?0即
v00vdv???00gsin?Rd?
12v0?gR?1?cos?0? ④ 22v0mgcos?0?m ⑤
R联立④⑤ 得
2?0?arccos
3- 38 -
即为刚离开圆柱面时与竖直方向夹角.
1.28解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.
ybOaAx
B题1.28.1图椭圆方程
x2y2?2?1 ① 2ab从A滑到最低点B，只有重力做功.机械能守恒.即
mgb?12 ②
mv2设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为N则有：
v2 ③
N?mg?m??为B点的曲率半径. A?B的轨迹：
x2
y??b1?2a得
y??a2bxx1?2a2；
y???b?2a1?x? ??1?a2????232又因为
1??k?y???1?y??- 39 -
322?b a2
所以
?bb2?
N?mg??mg?2?2mgh?W??1?2a2???a??mv2故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为
?b2?
W??1?2a2????方向垂直轨道向下.
1.29 解质点作平面直线运动，运动轨迹方程为
?x?a?2??sin2?? ①-②
??y??a?1?cos2??由曲线运动质点的受力分析，我们可以得到：
?v2mgcos??N?m??? ③-④ ??mgsin??mdv?dt?因为曲线上每点的曲率
k?所以
y???1?y??322 ⑤
dydyd?2asin2?sin2? ⑥ ???dxdx2a?2acos2?1?cos2?d?d2yd?dy?d?dy?d?
???????dx2dx?dx?d??dx?dx?2cos2??1?cos2???2sin22??1?cos2??211 ⑦ ??22a?2acos2?a?1?cos2??把⑥⑦代入曲率公式⑤中
k?1 4acos?所以
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