limlimFn25?1???0.618 034n??F21?5n?1Fn?111?5?lim??1.618 03n??Fn??F2nnFn?1
前者刚好就是黄金分割值.
tan(??h)?tan?h17. 为求极限h?0（其中?与h无关）的值，考察图3–29，图3–
lim 图3–29
?29中标明了的tan?和?（?是tan?的增量，即为tan(（1）通过仔细考查图形可知：
?h)?tan?）.
扇形 OAQ 的面积?△OQR 的面积?扇形 OBR 的面积
试用一个数学不等式表示这一关系；
（2）利用（1）中不等式，求本题中的极限
limtan(??h)?tan?h?0h.
解：（1）考查图形可知：
扇形 OAQ 的面积?△OQR 的面积?扇形 OBR 的面积
即：
111111??h??1?tan(??h)??1?tan????h222cos?222cos(??h)
（2）由上式可得
hh?tan(??h)?tan??cos2?cos2(??h)1tan(??h)?tan?1??cos2?hcos2(??h)
两边取 h→0 时的极限，得到
limtan(??h)?tan?1?h?0hcos2?
18. 求下列函数的定义域，并判断函数的连续性：
3f(x)?x?2x?3； （1）
3解：f(x)?x?2x?3是初等函数，故它在定义区间（–∞，+∞）上是连续的.
f(x,y)?（2）
xysin(x2?y2)?1；
解：定义区域：
{（x，y）|sin（x2+y2）+1≠0} ={（x，y）|sin（x2+y2）≠–1}
={（x，y）|x2+y2≠2kπ–π/2，k是正整数} f(x,y)?xysin(x2?y2)?1是多元初等函数，故它在定义区域上是连续的.
3??2x?16f(x)??7??x?（3）
x?4x?4；
解：函数的定义域是（–∞，+∞）.
当 x<4 时，f（x）=2x+3 是初等函数，从而是连续的.
当 x>4 时，f（x）=7+16/x 是初等函数，且在其上有定义，从而也是连续的. 下面考察 x=4 时，函数的连续性.
由于x?4?故
x?4?limf(x)?lim(2x?3)?11,limf(x)?lim(7?x?4?x?4?x?4?16)?11,f(4)?11x
limf(x)?limf(x)?11?f(4)x?4?，即x?4limf(x)?f(4)于是，f（x）在 x=4 处是连续的.
综上可得，函数在定义域上是连续的.
?3x?1?f(x)??x?1?x?1； ?3（4）
解：函数的定义域是（–∞，+∞）.
3当x≠1时，f（x）=x?1是初等函数，且在其上有定义，从而是连续的.
下面考察 x=1 时，函数的连续性.
由于
limf(x)?limx?1x?13??x?1，从而当 x→1 时，函数极限不存在.
于是，f（x）在 x=1 处是间断的.
综上可得，函数在（–∞，1）∪（1，+∞）上是连续的. （5）f(x, y, z)?sin(xyz)?ex?y?z?ln(1?x2?y2?z2)
解：定义区域：{（x，y）|1–x2–y2–z2>0}={（x，y）| x2+y2+z2<1}
f(x, y, z)?sin(xyz)?ex?y?z?ln(1?x2?y2?z2)是多元初等函数，故它在定义区域
上是连续的.
为
19. 设 1g 冰从–40 ℃ 升到 x ℃ 所需的热量（单位：J）
?40?x?0?2.1x?84f(x)???4.2x?420x?0
试问当 x=0时，函数是否连续?并解释它的几何意义.
解：由于x?0?故
x?0?limf(x)?lim(2.1x?84)?84,limf(x)?lim(4.2x?420)?420x?0?x?0?x?0?
limf(x)?limf(x)x?0?，从而当 x→0 时，函数极限不存在.
于是，f（x）在 x=0 处不连续.
由模型的物理意义可以知道，x=0 是1g 冰从–40 ℃ 升到 x ℃ 所需的热量的临界值，升温所需热量是不同比例的.
20. 设某城市居民的用水费用的函数模型为
0?x?4.5?0.64xf(x)???2.88?5?0.64(x?4.5)x?4.5
其中x为用水量（单位：t），f(x)为水费（单位：元）
（1）求x?4.5limf(x)；（2）f(x)是连续函数吗?（3）画出f(x)的图形.
解：（1）由于
x?4.5?limf(x)?lim0.64x?2.88, limf(x)?lim?2.88?5?0.64(x?4.5)??2.88x?4.5?x?4.5?x?4.5?
故x?4.5?limf(x)?limf(x)?2.88x?4.5?，故x?4.5limf(x)?2.88
于是，f（x）在 x=4 处是连续的.
（2）函数的定义域是（0，+∞）.
当 0≤x<4.5 时，f（x）=0.64x 是初等函数，从而是连续的.
当 x>4.5 时，f（x）=2.88+5×0.64（x–4.5）是初等函数，从而也是连续的. 下面考察 x=4.5 时，函数的连续性. 由（1）可知，x?4.5limf(x)?2.88?f(4.5)
于是，f（x）在 x=4.5 处是连续的. 综上可得，函数在定义域上是连续的. （3）f(x)的图形如下：
2015105246810 21. 用二分法求方程 x–4x+1=0 在区间[1，2]内的根.
解：令f（x）= x3–4x+1. 由于 f（1）=–2<0，f（2）=1>0，故方程 x3–4x+1=0 在区间[1，2]内有根. 可以证明，在该区间，方程只有一个根.
用二分法求近似根，使其绝对误差不超过 0.001. 为此，只需作 n≥log2(2–1)–log2(2–
×103)≈8.965 78 即 9 次二分区间，就可达到精度.
计算结果，列表如下：
3
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ai 1. 1.5 1.75 1.75 1.812 5 1.843 75 1.859 38 1.859 38 1.859 38 bi 2. 2. 2. 1.875 1.875 1.875 1.875 1.867 19 1.863 28 mi=（ai+bi）/2 1.5 1.75 1.875 1.812 5 1.843 75 1.859 38 1.867 19 1.863 28 1.861 33 f（mi） –1.625 –0.640 625 0.091 796 9 –0.295 654 –0.107 33 –0.009 128 57 0.040 992 3 0.015 846 6 0.003 337 69 于是，求得方程 x3–4x+1=0 在区间[1，2]内的近似根是 1.861 33，可与精确值 1.860 81 比较.
422. 图 3–30 为函数y?5?x?x的大致图形，求方程
5?x?x4?0所有实根的近似值（精确到三位有效数字）.
解：由图可知y(–2)<0，y(–1)>0及y(1)>0，y(2)<0，故方
4程5?x?x?0在区间[–2，–1]及[1，2]内各有一根.
用二分法求[–2，–1]内的近似根，使其绝对误差不超过 0.001. 为此，只需作n≥log[–1–（–2）]–log（2×10–3）
22
图3–30
≈8.965 78 即 9 次二分区间，就可达到精度.
计算结果，列表如下：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ai –2. –2. –1.75 –1.625 –1.625 –1.625 –1.609 38 –1.609 38 –1.605 47 bi –1. –1.5 –1.5 –1.5 –1.562 5 –1.593 75 –1.593 75 –1.601 56 –1.601 56 mi=（ai+bi）/2 –1.5 –1.75 –1.625 –1.562 5 –1.593 75 –1.609 38 –1.601 56 –1.605 47 –1.603 52 f（mi） 1.437 5 –2.628 91 –0.347 9 0.602 036 0.141 952 –0.099 180 3 0.022 325 –0.038 191 7 –0.007 874 5 4于是，求得方程 5?x?x?0 在区间[–2，–1]内的近似根是–1.603 52，可与精确
值–1.603 01比较.
用二分法求[1，2]内的近似根，使其绝对误差不超过 0.001. 为此，只需作 n≥log2[2
–
–1]–log2（2×103）≈8.965 78 即 9 次二分区间，就可达到精度.
计算结果，列表如下： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ai 1. 1. 1.25 1.375 1.375 1.375 1.375 1.375 1.378 91 bi 2. 1.5 1.5 1.5 1.437 5 1.406 25 1.390 63 1.382 81 1.382 81 mi=（ai+bi）/2 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.406 25 1.390 63 1.382 81 1.378 91 1.380 86 F（mi） –1.562 5 1.308 59 0.050 537 1 –0.707 535 –0.316 911 –0.130 354 –0.039 208 2 0.005 838 54 –0.016 641 2 4于是，求得方程5?x?x?0在区间[1，2]内的近似根是 1.380 86，可与精确值 1.379
41比较.
23. 对函数
y?x2?2x?3?ex?2在区间[–5，5]上实行离散化，从离散化数值表，找
出函数在这一区间上的单根区间（即其中只有一个根的区间）（注：函数在所给区间中有三个根）.
解：将区间[–5，5]十等分，计算函数值如下： x y x y 1. –5 –1.919 14 0 –2. –4 –1.908 42 1 –3 –2. 2 34.945 3 –2 –1.593 99 3 239.026 –1 –0.528 482 4 1 144.56 5 4 747.22 从表中可以看出，函数一个零点.
y?x2?2x?3?ex?2在（–1，0）、（0，1）、（1，2）内各有
22z?sinx?y24. 用计算器给出函数在区域[–1，1]×[–1，1]上纵横坐标均十等分节