2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测
理科数学试题
一、选择题： 1．若复数z?2i? A.
2，其中是虚数单位，则复数z的模为( ) 1?i2 B. 2 C. 3 D. 2 22．设a?R，则“a?4”是“直线l1:ax?2y?3?0与直线l2:2x?y?a?0平行”的( )
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
x
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
3．设函数f(x)?2，则下列结论中正确的是( ) A. f(?1)?f(2)?f(?2) C. f(2)?f(?2)?f(?1)
B. f(?2)?f(?1)?f(2) D. f(?1)?f(?2)?f(2)
4．设等差数列?an?的前n项和是Sn，若?am?a1??am?1(m?N*,且m?2)，则必定有( ) A. Sm?0，且Sm?1?0 C. Sm?0，且Sm?1?0
B. Sm?0，且Sm?1?0 D. Sm?0，
开始 n＝5，k＝0 n为偶数
且
Sm?1?0
5．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是( ) A. 4 C. 6
B. 5 D. 7
是
否 n＝ 3n+1 6．设函数f(x)?laogx?(a0?的定1义)域为
n?1[m,n](m?n),值域为[0,1],若n?m的最小值为,则实
3的值为( ) A.
n 2 k＝k＋1 数a
1 4 B.
12或 43C.
2 3D.
23或 34 n =1? 是 输出k 结束 否 x2y27．设双曲线??1的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线
43曲线左支于A,B两点,则BF2?AF2的最小值为( ) A.
交双
19 2 B. 11 C. 12
D. 16
8．已知集合A?(x,y)x(x?1)?y(y?1)?r，集合B?(x,y)x2?y2?r2，若A?B，则实数r可以取的一个值是( )
·1·
????
A. 2?1 B. 3 C. 2 D. 1?2 2?1?x?1,x?(??,2)?9．设函数f(x)??1，则函数F(x)?xf(x)?1的零点的个数为( )
?f(x?2),x?[2,??)?2 A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
sin2a3?cos2a3?cos2a3cos2a6?sin2a3sin2a610．设等差数列?an?满足：公差d?(?1,0). 若?1，
sin(a4?a5)当且仅当n?9时，数列?an?的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是( ) A. ??7?4?,3?6? ??5B. ??4?3?,2?3? ??C.
?7?4??
,?3??6? D.
?4?3??
,?2??3?二、填空题：
2?11．二项式?1???的展开式中第四项的系数为 ．
?x?12．从0,1,2,3中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)． 13．无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,? 的首项是，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来
4项都是4，?，以此类推.记该数列为?an?，若an?1?20，an?21，则n? ．
14．若正数x,y满足2x?y?3?0，则
x?2y的最小值为 ． xy22115．在△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若a?b?c2.则直
2?y?x?0?16．若整．数．x,y满足不等式组?x?y?7?0,则2x?y的最大值?x?0?为 ．
17．如图,在扇形OAB中,?AOB?60?,C为弧AB上的一个动点.若OC?xOA?yOB，则x?3y的取值范围是 ． 三、解答题：
18．(本题满分14分)设f(x)?6cosx?3sin2x(x?R)..
(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小正周期；
2??y 线ax?by?c?0被圆x2? y2?9所截得的弦长为 ． (0,7) ?3,4? ?3,3? O ?77? ?,??22?(7,0) x A ????C O (第17题)
B ·2·
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足f(A)?3?23,B?
12?，a求的值.
c19．(本题满分14分)已知甲箱中只放有x个红球与y个白球(x,y?0,且x?y?6)，乙箱中只放有
2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其它区别). 若甲箱从中任取2个球， 从乙箱中任取1个球.
(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x,y的值； (Ⅱ)当x?2时，求取出的3个球中红球个数?的期望E(?).
20．(本题满分14分)已知数列?an?满足a1?1,an?1?1? (Ⅰ)设bn? (Ⅱ)设cn?1,其中n?N*. 4an22an?1，求证：数列?bn?是等差数列，并求出?an?的通项公式an；
4an1，数列?cncn?2?的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn?对于
cmcm?1n?1n?N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.
1x2y221．(本题满分15分)已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点到直线l1:3x?
2ab3 (Ⅱ)若直线l2:y?kx?m(km?0) 与椭圆C4y?0的距离为. (Ⅰ)求椭圆C的方程；
5交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点).
22．(本题满分15分)已知函数f(x)?x?(a?2)x?alnx. (Ⅰ)当a?1时，求函数f(x)的极小值；
(Ⅱ)当a??1时，过坐标原点O作曲线y?f(x)的切线，设切点为P(m,n)，求实数m的值； (Ⅲ)设定义在D上的函数y?g(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l:y?h(x),当x?x0时，若
2g(x)?h(x)?0在D内恒成立，则称P为函数y?g(x)的“转点”．当a?8时，试问函数y?f(x)x?x0是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．
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【参考答案】
1.B【解析】由题意，得：z?2i?22(1?i)?2i??1?i 1?i(1?i)(1?i) 复数z的模z?12?(?1)2?2 2.C【解析】由题意，a?4??1?l:4x?2y?3?0?l1//l2，即充分。
?l2:2x?y?4?0x?x 又l1//l2?A1B2?A2B1?0?a?4，注意到此时l1,l2不重合，即必要。 3.D【解析】由题意，f(x)?2?2?f(?x)，即f(x)为偶函数。
?f(?1)?f(1)? 故?f(?2)?f(2). 显然x?0时，f(x)?2x单调递增。
??f(?2)?f(2) 所以f(?1)?f(1)?f(?2)?f(2)?f(?2)?f(2) 4.C【解析】由题意，得：?am?a1??am?1?? 显然，易得Sm??a1+am?0。
?a1?am?1?0a1?ama?am?1?m?0，Sm?1?1?(m?1)?0 225.B【解析】由题意，得：
n?5,k?0?n?16,k?1?n?8,k?2?n?4,k?3 ?n?2,k?4
?n?1,k?5?终止 当n?2时，执行最后一次循环；
当n?1时，循环终止，这是关键。输出k?5。 6.D【解析】由题意，分n?1或m?1两种情况：
2，此时f(x)在[m,n]上单调递减 32 故f(m)?logam?1?a?
34 （2）m?1时，n?，此时f(x)在[m,n]上单调递增
33 故f(n)?logan?1?a?
4 （1）n?1时，m?·4·
7.B【解析】由题意，得：
?AF2?AF1?2a?4? ??BF2?AF2?8?AF1?BF1?8?AB ??BF2?BF1?2a?4b2 显然，AB最短即通径，ABmin?2??3，故?BF2?AF2?min?11
a?111?8.A【解析】A??(x,y)(x?)2?(y?)2?r??、B?(x,y)x2?y2?r2
222????
不难分析，A、B分别表示两个圆，要满足A?B，即两圆内切或内含。 故圆心距O1O2?2?r1?r2，即： 221111?r?r??r2?2?r?r??r??22222
?1?11. ?r?r?2r??1?0?r?2r??1?0?r?1?2r????2?22??r2?2r?1?0?r?1?62 显然，r?1?6?2，故只有(A)项满足。 29.C【解析】由题意，F(x)?xf(x)?1的零点，即f(x)与的交点。
易绘x?(??,2)的函数图象，且f(0)?f(2)?0,f(1)?1,f()?f()? 当x?[2,??)时，f(4)?1x12321 211f(2)?0,f(6)?f(4)?0,? 22 依次类推，易得f(4)?f(6)?f(8)???f(2n)?0
111111 又f(3)?f(1)?, 同理f(5)?f(3)?，f(7)?f(5)?
222428 不难绘出x?[2,??)的函数图象如右，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个。
·5· y ?1,1? O ?1? ?3,??2??1? ?5,??4??1? ?7,??8?(2, 0) (4, 0) (6, 0) (8, 0) x