浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试
高三数学试卷（文科）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．若集合A??0,m?,B??1,2?,A?B??1?，则实数m? 1 .
1??，则此方程组的解是3???a1x?b1y?c1?12．已知二元一次方程组?的增广矩阵是??1??a2x?b2y?c2?x?2??y?1.
?113．函数y?log2(x?2)的定义域为 [3,??) .
1164．已知x,y?R，且x?4y?1，则x?y的最大值为 5．函数y?1? . 2x（x?0）的反函数是 y?(x?1)（x?1） .
6．函数f(x)?2sin????????x?cos??x?的最小正周期为 ? . ?4??4?7．等差数列?an?中，a6?a7?a8?12，则该数列的前13项的和S13? 52 . 8．已知数列?an?是无穷等比数列，其前n项和是Sn，若a2?a3?2，a3?a4?1，
则limSn的值为
n??163 .
?2x?y?0?9．已知实数x,y满足约束条件?x?3y?5?0，则z?x?y?y?1?的最小值等于 ?1 .
10．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8? cm.
1?11．二项式?x???2x??n2的展开式前三项系数成等差数列，
主视图左视图则n? 8 .
12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，
俯视图1 / 8
则该几何体的体积为 2??233 . ????????????????13．非零向量OA与OB，对于任意的t?R,OA?tOB的最小值的几何意义
为点A到直线OB的距离 .
14．1,2,3,4,5共有5!种排列a1,a2,a3,a4,a5，其中满足“对所有k?1,2,3,4,5 都有ak?k?2”的不同排列有 54 种. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b， 则“A?B”是“acosA?bcosB ”的（ A ）
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条
件
16．已知函数f(x)?(A) ?1214?2x，若函数y?f(x?1412)?n为奇函数，则实数n为（ B ）
14 (B) ? (C) (D) 0
17．若x1，x2，x3,?，x2013的方差为3，则3x1，3x2，3x3,?，3x2013的方差为（ D ）
(A)3 (B)9 (C)18 (D)27
18．定义域为
?a,b?的函数y?f(x)图象的两个端点为A,B，向量
????????????， BON??O?A(1??)O M(x,y)是f(x)图象上任意一点，其中x??a?(1??)b,???0,?1. 若不等式MN?k恒成立，
则称函数f(x)在?a,b?上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．
下列定义在?1,2?上函数中，线性近似阀值最小的是 （ D ）
(A)y?x (B)y?22x?1 (C)y?sinx (D)y?x?
3x三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
2 / 8
如
A?B图，直三棱柱
ABC?A1B1C1中
B1，A1c1?A?1C2,??AA?45. ABC（1）求直三棱柱ABC?A1B1C1的体积；
（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角. 解：（1）V?12ADC ??????????????2?2?2?4；
B6分 （2）设M是AA1的中点，连结DM,BM，?DM//A1C,
??BDM是异面直线BD与A1C所成的角.???8分
在?BDM中，BD?BM?225,MD?22，
cos?BDM??5???2???5?2?2?51010?1010.?????????????10分
1010即?BDM?arccos.?异面直线BD与A1C所成的角为arccos.????
12分
20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知复数z1?2sin??3i,z2?1?(2cos?)i,???0,??.
（1）若z1?z2?R，求角?； 值范围. 解
：
（
1
????????????????????（2）复数z1,z2对应的向量分别是OZ1,OZ2,其中O为坐标原点，求OZ1?OZ2的取
3i)?1?(2cos?)i?
）
z1?z2?(2sin??=(2sin??23cos?)?(2sin2??323)i?R??2分
?sin2????????????4分
?3或23 又 ?0?2??2?，?2??（2）OZ1?(2sin?，? OZ1?OZ2?， ????6或?3???????6分
3），OZ2?（1,2cos?)
?2sin??23cos? ?4sin(???3)?????????10分
3 / 8
???3????3?2?32，
??23,4???14分
??23?4sin(???3)?4?OZ1?OZ??21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形
ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N
在AB上，且P点在斜边BC上，已知?ACB?60?且|AC|?30米，AM=x，x?[10,20].
（1）试用x表示S，并求S的取值范围； （2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为
37kS，再把矩形AMPN以外（阴影
部分）铺上草坪，每平方米的造价为
12kS（k为正常数），求总造
B价T关于S的函数T?f(S)；试问如何选取|AM|的长使总造价
T最低（不要求求出最低造价）.
NP解：（1）在Rt?PMC中，显然|MC|?30?x，?PCM?60?，
?|PM|?|MC|?tan?PCM?3(30?x)，?????
AMC?2分
矩形AMPN的面积S?|PM|?|MC|?于是2003?S?2253x(30?x)，x?[10,20]?4分
3为所求.???????6分
（2） 矩形AMPN健身场地造价T1?37kS ???????????????7分
又?ABC的面积为4503，即草坪造价T2?12kS3(4503?S)，?????8分
由总造价T?T1?T2，?T?25k(S?216S)，2003?S?2253.?10分
?S?216S3?1263，????????????????????11分
当且仅当S?216S3即S?2163时等号成立，???????????12分
此时3x(30?x)?2163，解得x?12或x?18，
4 / 8
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.?????????14分
22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有(xn?1?p)(xn?p)?0成立，那么我们称数列{xn}为“p?摆动数列”．
（1）设an?2n?1，bn?(?)n，n?N?，判断{an}、{bn}是否为“p?摆动数列”，
21并说明理由；
（2）设数列{cn}为“p?摆动数列”，c1?p，求证：对任意正整数m,n?N*，总有c2n?c2m?1成立；
（3）设数列{dn}的前n项和为Sn，且Sn?(?1)n?n，试问：数列{dn}是否为“p?摆动数列”，若是，求出p的取值范围；若不是，说明理由.
解：（1）假设数列{an}是“p?摆动数列”，即存在常数p，总有2n?1?p?2n?1对任意n成立，
不妨取n?1时，则1?p?3，取n?2时，则3?p?5，显然常数p不存在， 所以数列{an}不是“p?摆动数列”；????????????????2分 而数列{bn}是“p?摆动数列”，p?0. 由bn?(?)，于是bnbn?1?(?21n12)2n?1?0对任意n成立，
所以数列{bn}是“p?摆动数列”.?4分 （2）由数列{cn}为“p?摆动数列”，c1?p，
即存在常数p，使对任意正整数n，总有(cn?1?p)(cn?p)?0成立.
即有(cn?2?p)(cn?1?p)?0成立.则(cn?2?p)(cn?p)?0，???????6分 所以c1?p??c3?p???c2m?1?p，??????????????7分 同理(c2?p)(c1?p)?0?c2?p?c4?p???c2n?p，??????8分 所以c2n?p?c2m?1.????????????????????????9分
*因此对任意的m,n?N，都有c2n?c2m?1成立.????????????10分
5 / 8