第2节 矩形、菱形、正方形
(必考，1～3道，4～20分)
玩转重庆10年中考真题(2008～2017年) 命题点1 矩形的性质及相关计算(10年5考)
1. (2014重庆B卷8题4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
第1题图
2. (2015重庆B卷18题4分)如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB＝2，BC＝23，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE＝∠ACF，且CE＝CF时，AE＋AF＝________．
第2题图
3. (2013重庆A卷24题10分)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上的点，
AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若BC＝23，求AB的长．
第3题图
命题点2 菱形的性质及相关计算(10年6考，与反比例函数结合考查3次)
4. (2014重庆A卷15题4分)如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为________．
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第4题图
5. (2012重庆24题10分)已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2. (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME.
第5题图
命题点3 正方形的性质及相关计算(10年11考，近2年均以正方形为背景涉及折叠变换) 6. (2010重庆10题4分)已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE.过点A作AE的垂线交ED于点P.
第6题图
若AE＝AP＝1，PB＝5.下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋6；⑤S正方形ABCD＝4＋6. 其中正确结论的序号是( )
A. ①③④ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤
7. (2014重庆A卷18题4分)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，
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点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE.过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为__________．
第7题图
8. (2014重庆B卷18题4分)如图，在边长为62的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH.若BH＝8，则FG＝________．
第8题图
答案
1. B 【解析】∵四边形ABCD是矩形，AC与BD相交于点O，∴OB＝OC，∵∠ACB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠AOB＝∠ACB＋∠DBC＝60°.
432. 【解析】如解图，作FG⊥AC于点G，∴∠FGC＝∠B.∵EC＝FC，∠BCE＝∠ACF，
3∴△BCE≌△GCF(AAS)，∴CG＝BC＝23，BE＝GF.在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝23，∴tan第 3 页 共 8 页
BC
∠BAC＝＝3，∴∠BAC＝60°，∠GAF＝30°，AC＝2AB＝4，∴AG＝4－23.在Rt△AFGBAGF4－232（4－23）4－23
中，tan30°＝，∴GF＝＝BE，∴AF＝2GF＝，AE＝2－，∴AFAG3332（4－23）4－23443
＋AE＝＋2－＝＝.
3333
第2题解图
3. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，(1分)
∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC.(2分) ∵AE＝CF，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，(3分) ∴OE＝OF；(4分)
第3题解图
(2)解：如解图，连接BO. ∵OE＝OF，BE＝BF， ∴BO⊥EF，且∠EBO＝∠FBO， ∴∠BOF＝90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCF＝90°.
又∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC＋∠EOA， ∴∠BAC＝∠EOA， ∴AE＝OE.
∵AE＝CF，OE＝OF， ∴OF＝CF.
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又∵BF＝BF，
∴Rt△BOF≌Rt△BCF(HL)，(6分) ∴∠OBF＝∠CBF，(7分) ∴∠CBF＝∠FBO＝∠OBE. ∵∠ABC＝90°，
1
∴∠OBE＝∠ABC＝30°，(8分)
3∴∠BEO＝60°， ∴∠BAC＝30°.(9分) BC
∵tan∠BAC＝，
AB
23323
∴tan30°＝，即＝，
AB3AB∴AB＝6.(10分)
4. 28 【解析】∵菱形的四条边都相等，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝7，则菱形ABCD的周长为4×7＝28. 5. (1)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠1， ∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD， ∵ME⊥CD，
∴CD＝2CE＝2，(4分) ∴BC＝CD＝2；(5分)
(2)证明：∵F为边BC的中点， 1
∴BF＝CF＝BC，∴CF＝CE，
2在菱形ABCD中，AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD，(6分)
CE＝CF??
在△CEM和△CFM中，?∠ACB＝∠ACD，
??CM＝CM∴△CEM≌△CFM(SAS)， ∴ME＝MF，(7分)
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如解图，延长AB交DF的延长线于点G， ∵AB∥CD，∴∠G＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G， ∴AM＝MG，(8分)
∠G＝∠2??
在△CDF和△BGF中，?∠BFG＝∠CFD，
??BF＝CF∴△CDF≌△BGF(AAS)， ∴GF＝DF，(9分)
∴AM＝GM＝GF＋MF＝DF＋ME.(10分)
第5题解图
6. D 【解析】 序号 ① ∵AE＝AP，∴△APD≌△AEB(SAS) 如解图，作BF⊥AE的延长线于点F，易知∠BEF＝45°，∴△BEF是等腰三角形，由勾股定理可求得EP＝1＋1＝2，在Rt△BEP中(理由见③中)BE⊥ED，BE＝（5）－2＝3，∴EF＝BF＝② 6 22222逐个分析 在正方形ABCD中，AD＝AB，又∠DAB＝∠PAE＝90°，∴∠DAP＝∠BAE，又正误 √ 32＝6，∴点B到直线2× AE的距离为 第6题解图 ∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵AE＝AP，∠PAE＝90°，∴∠AEP＝③ ∠APE＝45°，∴∠APD＝∠AEB＝135°，∴∠BEP＝∠AEB－∠AEP＝135°－45°＝90°，∴EB⊥ED √ 第 6 页 共 8 页