所以总的频率响应：
H?ei2?f??H1?ei2?f?H2?ei2?f??M（2）
?f?ei??f?M?f?e?j??f??M2?f?
但这样造成的一个问题就是：由于满足上述关系的H1(z),H2(z)必有
H2(z)=H1(1/z)。所以总是有一个滤波器是不稳定的。实际实现中， 采用了一种时间反折技术(time- reversing technique)，两个滤波器的传递函数设计成相同的， 但是经过第一个滤波器得到的数据经过一次反折，即后入先出，这样经过第二个滤波器后就跟原序列经过上述H1(z)，H2(z)的效果是相同的。
2. FIR 的准确线性相位是以降低幅度响应特性作为代价的, 所以相同幅度响应的FIR 滤波器要比IIR 的阶数高得多, 特别是如果要实现有锐沿的幅频特性, FIR 所需要的阶数将非常高, 而IIR 滤波器就能很好的解决这个问题。
3. 由于FIR 没有反馈系统, 它需要较多的存储器来存放滤波器系数, 所以在对相位要求不很严格的地方, 使用IIR 滤波器更节约资源。
4. 反馈系统在IIR 滤波器中带来的一个问题就是:一次运算产生的误差将会反馈到输入端再参与运算, 使误差在环路内不断积累传播, 从而对滤波器的输出造成较大的影响。所以, 有限字长效应在IIR 滤波器中比在FIR 中更加严重。为了解决这个问题，Artur Krukowski 对相同传递函数, 不同内部结构的全通IIR 滤波器基本单元的量化效应和其他一些特性作了研究，得到了各种结构的特点, 可以根据应用的需要选择不同的结构，来达到特定的指标要求，从而发挥出IIR 滤波器的最大优势。
[1]
2.2.2 IIR滤波器的差分表示
数字滤波器一般都具有差分方程形式
y?n??m?0?aMmx?k?m???bny?k?n? （3）
n?1N其中，x( n)为输入序列，y( n)为输出序列，和为滤波系数, N 是滤波器的阶数。当为零,则有
y?n??m?0?aMmx?k?m? （4）
其中，式（3）为IIR滤波器，式(4)为FIR滤波器。 2.2.3 IIR滤波器的传递函数
求IIR 滤波器的传递函数H(z)时，应把差分方程【式（3）】的两边加以Z变换，得出：
Y?Z??X?Z??amZm?0M?m?Y?Z??bnZ?n （5）
n?1N式中x(Z)、Y(Z)分别表示输入信号与输出信号的Z变换。由此，按下述求出传递函数：
H?Z??Y?Z??X?Z?m?0N?an?1MmZ?m?Z?n?bnA?Z? （6） B?Z?式中各变量为：
（1）系数，：称为抽头系数或滤波器系数，是决定滤波器特性的数值； （2）M： 滤波器的分子多项式的阶数； （3）N： 滤波器的分母多项式的阶数。
式（6）为有理函数（由分母多项式与分子多项式构成的函数），FIR 滤波器的场合
是只有分子多项式A(Z)， 而IIR 滤波器则还具有分母多项式B(Z)， 固而会产生种种问题。其中特别需要注意的是稳定性问题。在这里，使A(Z)=0的Z 值称为滤波器的“零点” ，使B(Z)=0 的Z值则称为“极点”。 2.3 IIR数字滤波器的设计方法
利用模拟滤波器成熟的理论和设计方法来设计IIR数字低通滤波器是经常用的方法。设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟滤波器的传输函数G(S)，再按一定的转换关系将G(S)转换成数字低通滤波器的系统函数H(Z)。这样设计的关键问题就是找这种转换关系，将S平面上的G(S)转换成Z平面上的H(Z)。为了保证转换后的H(Z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：
(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。
(2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，S平面的虚轴映射Z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。
将传输函数G(S)从S平面转换到Z平面的方法用多种，但工程上常用的是标准Z变换和双一阶Z变换。 2.3.1 S—Z变换的概述
S—Z变换是一种对模拟滤波器的传递函数G(S)加以变换来求数字滤波器的传递函数H(Z)的有效方法，具有以下特点：
(1)模拟滤波器的传递函数近似理论是很成熟的， 用比较简单的数学式表达出了常见的一些滤波器(巴特沃思型、切比雪夫型、贝塞尔型等)的设计公式。因此，如果以模拟滤波器的设计公式作为基础， 则数字滤波器的设计就归结为函数变换，可望简单化。
(2)对模拟滤波器的工作特性以数字滤波嚣来加以仿真这一点，在应用上多很有用。
S—Z变换有标准z变换与双一阶Z变换等，是根据所要设计的滤波器的型式(按低通滤波器、带通滤波器等加以区别)分别利用的。 2.3.2 标准Z变换
这种变换也称为冲激不变法，是使模拟滤波器的冲激响应g(t)的采样值等于所设计的数字滤波器的冲激响应h(k)，亦即使
h?k??g?t?|t?kT?k?0,1,2,...? （7）
今设模拟滤波器的传递函数G(S)由下式表达：
G?S??（8）
?n?1NAn
S?Sn通过对式(8)进行拉普拉斯变换反演计算，可得此滤波器的冲激响应为 （9） 代入(7)式后成为
g?k??g?t?|t?kT??Ane?SnkT
n?1N(10)
至此，如果再计算模拟滤波器的冲激响应序列g(k)的Z变换，就显然与数字滤波器的传递函数H(Z)相一致。亦即得到
?N?N???SnT?1k??SnkT??k????Ane?Z??An??eZ? k?0?n?1n?1??k?0??H?Z???g?k?Zk?0?k??
（11）
此无限等比级数可改写为
H?Z???（12）
NAn?SnkTZ?1n?11?e
在这里把式(12)看作是由S域向Z域的变换，就导出了的关系（称为标准Z变换）。 2.3.3 双一阶Z变换（即双线性变化）
这种变换也称梯形积分法，目的在于克服标准Z变换不适应设计产生混叠误差、频带未受限制的滤波器这一缺点。
今把由下述S—Z变换式
(13) 所示的S值代入模拟滤波器的传递函数G(S)中去，就得到传递函数为
H?Z??G?S?|（14）
S?21?Z?1?T1?Z?1
的数字滤波器。通过简单的考察可知，双一阶Z变换是把整个S平面映射到Z平面的单位圆内，不存在混叠现象，只要模拟滤波器是稳定的，那么数字滤波器就也是稳定的。但它们的冲激响应与频率特性切不是一样的。
把式(14)中的S代以、Z代以，用表示模拟滤波器G(S)的频率特性、表示数字滤波器H(Z)的频率特性，则(14)式可以写成