12.3二项式定
典例精析
题型一 二项展开式的通项公式及应用
(x?124x)n【例1】 已知的展开式中，前三项系的绝对值依次成等差列.
(1)求证：展开式中没有常项； (2)求展开式中所有的有项.
11【解析】由题意得2C1n·2＝1＋C2n·(2)2，
即n2－9n＋8＝0，所以n＝8，n＝1(舍去).
rC88?r
·(x)·
(?12x4)r 所以Tr＋1＝
18?rr?r24＝(－2)r·C8·x·x
rC816?3rr4＝(－1)r·2·x(0≤r≤8，r∈Z).
(1)若Tr＋1是常项，则
16－3r
＝0，即16－3r＝0， 4
因为r∈Z，这不可能，所以展开式中没有常项. (2)若Tr＋1是有项，当且仅当
16－3r
为整， 4
又0≤r≤8，r∈Z，所以 r＝0,4,8，
351
即展开式中有三项有项，分别是T1＝x4，T5＝ x，T9＝ x-2. 8256
【点拨】(1)把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指、项、展开式的系间的关系、性质；
(2)应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含x某次幂的项，常项，
有项，系最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n或r后，再求所需的项(要注意n和r的值范围及大小关系)；
(3) 注意区分展开式“第r＋1项的二项式系”与“第r＋1项的系”.
23【变式训练1】若(xx＋x)n的展开式的前3项系和为129，则这个展开式中
是否含有常项，一次项？如果有，求出该项，如果没有，请说明由.[] 【解析】由题知C0n＋C1n·2＋C2n·22＝129，[
(32r1112?r)rx＝2rC8x6，
所以n＝8，所以通项为Tr＋1＝Cr8(xx)8-r 故r＝6时，T7＝26C28x＝1 792x，
所以不存在常项，而存在一次项，为1 792x. 题型二 运用赋值法求值
【例2】(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，则n＝ ；
(2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ .[]
【解析】(1)易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30. 又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30， 即2n＋1－2＝30，所以n＝4. (2)由二项式定得， a1＝－C1n＝－n，a2＝C2n＝
n(n－1)
， 2
代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6，
令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6， 即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.
【点拨】运用赋值法求值时应充分抓住代式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.
【变式训练2】设(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8.求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值.