?X(ejw)?2?(n?b)]e?jwnn?[?(n?1)????
?e?jw?2e?jbw??H(ejw)?bnu(n)e?jwnn????n?jwn
n??be??0?11?be?jwY(ejw)?X(ejw)?H(ejw)?e?jw?2e?jbw1?be?jw
8． a 和b均为常数，求出以下序列的Z变换及收敛域:? (1) 2?nu(n) (2) ?2?nu(?n?1)? (3) 2?nu(?n)
(4) ?(n)?
(5) ?(n?b)
(6) 2?n[u(n)?u(n?b)]
??解：（1）ZT[2?nu(n)]?2?nu(n)z?n?1,z?1n?????2?nz?n?n?01?1z?122??2?（2）X(z)??2?nu(?n?1)]z?n??)?n??n?[???n?(2z????(2z)n
n?2 ?(2z2)2z?1,|z?|1/ 2（3）X(z)?n???2?nu(?n)z?n?????(2z)n?11?2z,|z|?1/2 n?0?（4）X(z)?n)z?n?1,???|z|??
n??(????????|z|??,z?0,b?0（5）X(z)?n?z?b,?????|z|??,b?0
n??(n?b)z?????????|z|??,b?0（6）X(z)?n[u(n)?u(n?b)]z?n
n??2???????2?nu(n)z?n?n????n?2?nu(n?b)z?n
???11
11
??2n?0??nz??2?nz?n
?nn?b?b?b1(2z?)?1z(2) ???,|z?|1/ 21?11?(2z?)?1z(2)?1z?(12)9． 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。
?n?1?x(n)??2M?n?0?0 ?n ? MM?1 ? n ? 2M 其它
解：题中x(n)是一个三角序列，可以看做两个相同的矩形序列的卷积。 设y(n)?RN(n)?RN(n)则
0n?0??n?10?n?M?1? y(n)?RN(n)?RN(n)??2M?(n?1)M?n?2M?1??02M?n?将y(n)和x(n)进行比较可得
n?0?0?20?n?M?1? x(n)?y(n)???1M?n?2M?1??2M?n?0设
n?0?0?20?n?M?1?t(n)????1M?n?2M?1 ?2M?n?0FT[t(n)]?T(Z)ZT[RN(n)]??zn?0N?1?n1?z?NzN?1??N?1,?11?zz(z?1)0?z
zN?12Y(z)?2N?2[]
zz?11zN?12X(z)?2N?2[]?T(z)
zz?1110. 已知
X(z)?求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。
解：
12
21 ?1?11?z?11?z2
X（z）有两个极点：z1=0.5和z2=1。
根据系统极点分布情况，系统的因果性和稳定性有三种情况，分别分析如下。 （1）Z?0.5
3?2.5z?1F(z)?X(z)z?zn?1?1?1(1?0.5z)(1?z)令
n?1?3z?2.5z?0.5)(z?1)zn(x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]??[2(0.5)n?1]u(?n?1)
（2）0.5?Z?1 同理可得
x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?2(0.5)nu(n)?u(?n?1)
（3）1?Z 同理可得
x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?[2(0.5)n?1]u(n)
11. 用Z变换法解下列差分方程：
(1) y(n)－0.2y(n－1)=0.06u(n)， y(n)=0 n≤－1?
(2) y(n)－0.7y(n－1)=0.04u(n)， y(－1)=1， y(n)=0(3) y(n)－0.3y(n－1)－0.16y(n－2)=2δ(n)，
y(－1)=0.2，y(－2)=0.6， y(n)=0，当n≤－3时。 解： （1）
Y(z)?0.2Y(z)z?1?0.0611?z?1Y(z)?0.06(1?0.2z?1)(1?z?1)
?0.06z2z2?1.2z?0.2matlab程序： clear all; close all; clc;
b=[0.06 0 0]; a=[1 -1.2 0.2];
[r,P,C]=residuez(b,a); 运行结果： r=0.075 -0.015
13
n<－1
13
P=1 0.2 C=0
分解如下：
Y(z)?0.0750.015 ??1?1(1?z)(1?0.2z)所以y(n)?0.075u(n)?0.015(0.2)nu(n) (2) 解略 （3）
Y(z)?0.3[z?1Y(z)?y(?1)]?0.16[z?2Y(z)?y(?2)?y(?1)z?1]?2
2.156?0.032z?1Y(z)?1?0.3z?1?0.16z?2 22.156z?0.032z?2z?0.3z?0.16matlab程序： clear all; close all; clc;
b=[2.156 0.032 0]; a=[1 -0.3 -0.16];
[r,P,C]=residuez(b,a); 运行结果： r=1.494 0.66204 P=0.5772 -0.2772 C=0
分解如下：
Y(z)?1.4940.66204?
(1?0.5772z?1)(1?0.2772z?1)nn所以y(n)?1.494(0.5772)u(n)?0.66204(?0.2772)u(n)
12.时域离散线性非移变系统的系统函数H(Z)为：
H(Z)?1?Z?a??Z?b?，a和b为常数
（1）要求系统稳定，确定a和b的取值范围。 （2）要求系统因果稳定，重复（1）。
解：（1）H(z)的极点为a、b，系统稳定的条件是收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点。因此，只要满足a?1，
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b?1即可使系统稳定，或者说a和b的取值域为除单位圆以外的整个z平面。
（2）系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内，所以a和b的取值域为
0?a?1 ，0?b?1。
第4章 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换思考题
1. 计算以下各序列的N点DFT,在变换区间0?n?N?1,序列定义为 （1）x(n)?Rm(n),0?m?N （2）x(n)??(n?m),(0?m?N)
2?（3）x(n)?ejNmn,0?m?N
N?1m?1?解 （1）X(k)?DFT[x(n)]??Rm(n)e?j2?Nkn?n?0?R?j2m(n)eNkn
n?0m?1?j2???e?j2?jNkmNkn?1??j2?eNk?...?e?2?Nk(m?1)?1?e2?n?01?e?j
NkN?1（2）X(k)???(n?m)e?j2?2?Nnk?e?jNmk
n?01N?12?（3）X(k)??N?(ej2?Nmn.e?j2?Nnk)??ej2?Nn(m?k)?1?ej(m?k)2?N?...?ejN(N?1)(m?k)
n?0n?0j2?NN(m?k)?1?ej2?(m
1?eN?k)2. 长度为N=10的两个有限长序列
x?1,0?n?41(n)???0,5?n?9 x?1,0?n?42(n)????1,5?n?9 试求x1(n)*x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)，?表示10点圆周卷积 ?解：（1）令y1(n)?x1(n)*x2(n)??x1(m)x2(n?m)，由已知得
??x?1,0?m?41(m)???0,5?m?9,x?1,0?m?4?1,?4?m?02(m)????1,5?m?9,x2(?m)????1,?9?m??5
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