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例 将端点相连的三根细线掷在水面上，如图3-4-2所示，其中1、2线各长1.5cm，3线长1cm，若在图中A点滴下某种杂质，使表面张力系数减小到原来的0.4，求每根线的张力。然后又把该杂质滴在B点，求每根线的张力：已知水的面表张力系数α=0.07N/m。
A滴入杂质后，形成图3-4-3形状，取圆心角为θ的一小段圆弧，该线段在线两侧张力和表面张力共同作用下平衡，则有
aTsin?2?(a?0.4a)?R1，式中
sin?2??2,R1?2.5cm2??4T?T?T?1.67?10N,T1?0。 23代入后得
T??0，形成圆产半径
B中也滴入杂质后，线3松弛即33R2??42?cm，仿上面解法得T1??T2??0.6aR2?2?10N。
3．4．3、表面张力产生的附加压强
表面张力的存在，造成弯曲液面的内、外的压强差，称为附加压强，其中最简单的就是球形液面的附加压强，如图3-4-4所示，在半径为R的球形液滴上任取一球冠小液块来分析(小液块与空气的分界
2 1 T ? F2 T F1 面的面积是S?，底面积是S，底面上的A点极靠近球面)，此球冠形小液体的受力情况为：
在S面上处处受与球面垂直的大气压力作用，由对称性易知，大气压的合力方向垂直于
0。 S面，大小可表示为
在分界线上(图中的虚线处)处处受到与球面相切的表面张力的作用，这些表面张力的水平分力相互抵消，故合力也与S面垂直，大小为
图3-4-3
F?pS
球冠形液块的重力mg，但因A点极邻近液面，所以截块很小，mg的数值可忽略。 根据小液块的力学平衡条件可得
f???f????fsin??2???sin??2??Rsin2?pS?F?f
22S??Rsin?及R、f的表示式代入上式可得 将
p?p0?2?R?
S? r S A ? R ? ?f? 应该指出是上式是在凸液面条件下导出的，但对凹液面也成立，但凹球形液面(如液体中气泡的表面)内的压强p小于外部压强0，另外，对球形液泡(如肥皂泡)由于其液膜很薄，液膜的内外两个表面的半径可看成相等，易得球形液泡内部压强
?f ? ?f p4?比外部压强大R数值。
例 当两个相接触的肥皂泡融合前，常有一个中间阶段，在两个肥皂泡之间产生一层薄膜，见图3-4-5所示。
(1)曲率半径r1和r2已知，求把肥皂泡分开的薄膜的曲率半径。
图3-4-4
r1 r2 (2)考虑r1?r2?r的特殊情况，在中间状态形成前，肥皂图3-4-5 泡的半径是什么？在中间膜消失后，肥皂泡的半径是什么？我们
假定，肥皂泡里的超压只与表面张力及半径有关，而且比大气压小得多，因此泡内的气体体积不会改变。
解 ：(1)设肥皂液的表面张力系数为?，则液泡内的超压为
?p?4?r，因此半径小的
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液泡内的超压大，泡内气体的压强也就比较大，所以连体过渡泡的中间隔膜应向半径较大的泡一边凸出。
设中间隔膜的曲率半径为r12，则该曲面产生的附加压强为的隔膜保持平衡，应有
p?4?r12，为了使中间状态
4?4?4???r1r12r2
rrr12?12r1?r2。 即
(2)当r1?r2时，隔膜的曲率半径r12??，即是一个平面，在界线上任取一点A，它受到两个球面及薄膜的表面张力f1、f2、
f12均跟各面相切，如图3-4-6所示。由于是同一种液体，故三力
f1 r1 A O1 f2 f12 O2 r2 O1O2A应大小f1?f2?f12，平衡时它们的方向彼此夹120o角，
组成等边三角行，“球幅”的高度d=r/2，所以每过过渡泡的体积为
41?rr?9V??r3???2r3?()3?3r2????r333?22?8
4?p?p0?r 而压强
设生成过渡泡前的肥皂泡半径为R，则
图3-4-6
44?V1??R?3,p1?p0?3R 生成大泡半径为R?，则
44?V2??R?3,p2?p0?3R
依据玻意耳定律有
4??93?4??43?p???r?p??0??0???Rr?8R?3?? 4??93?4??4?3?p0????r??p0????R?r?8R??3??
4?p若考虑到0>>r，则泡内气体总体积可认为不变，故可近似得出 3r3rR?3,R??32422
说明 对本题，比较有意思的是，泡内超压△p比大气压小得多时，气体的总体积保持
不变。
3．4．4、浸润和不浸润 液体与固体接触的表面，厚度等于分子作用半径的一层液体称为附着层。在附着层中的液体分子与附着层外液体中的分子不同。若固体分子对附着层内的分子作用力—附着力，大于液体分子对附着层的分子作用力——内聚力时，则附着层内的分子所受的合力垂直于附着层表面，指向固体，此时若将液体内的分子移到附着层时，分子力做正功，该分子势能减小。固一个系统处于稳定平衡时，应具有最小的势能，因水 水银 物理课件网（www.wulikj.com）----全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！（a）
（b）
图3-4-7
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此液体的内部分子就要尽量挤入附着层，使附着层有伸长的趋势，这时我们称液体浸润固体。反之，我们称液体不浸润固体。
在液体与固体接触处，分别作液体表面的切线与固体表面的切线，在液体内部这两条切线的夹角θ，称为接触角。图3-4-7中，液体与固体浸润时，θ为锐角；液体与固体不浸润时，θ为钝角。两种理想情况是θ=0时，称为完全浸润；θ=π时，称为完全不浸润。
例如：水和酒精对玻璃的接触角θ≈0o，是完全浸润；水银对玻璃的接触角θ≈140o，几乎完全不浸润。
由于液体对固体有浸润和不浸润的情况，所以细管内的液体自由表面呈现不同的弯曲面，叫做弯月面。若液体能浸润管壁，管内液面呈凹弯月面；若液体不能浸润管壁，管内液面呈凸弯月面。液体完全浸润管壁，则θ=0，弯月面是以管径为直径的凹半球面；液体完全不浸润管壁，则θ=π，弯月面是以管径为直径的凸半球面。
例 在航天飞机中原有两个圆柱形洁净玻璃容器，其中分别装有一定量的水和水银，如图3-4-7(a)和(b)。当航天飞机处于失重状态时，试分别画出这两个容器中液体的形状。
分析：在失重情况下，液体的形状取决于表面张力和与玻璃浸润情况。
解：由于水银对玻璃是不浸润的，附着层面积要尽量小，水对玻璃是浸润的，附着层面积要尽量大，因此将形成如图7-4-8所示的形状。
3．4．5、毛细现象
管径很细的管子叫做毛细管。将毛细管插入液体内时，图3-4-8 管内、外液面会产生高度差。如果液体浸润管壁，管内液面
高于管外液面；如果液体不浸润管壁，管内液面低于管外液面。这种现象叫毛细现象。如图3-4-9所示为浸润液体的情形。设毛细管的半径为r，液体的表面张力系数为α，接触角θ，管内液面比管外液面高h。则凹形液面产生的向上的表面张力是F?2?r?cos?，管内h高的液柱的重力是G??g?rh，固液注平衡，则：
对于液面不浸润管壁的情况，上式仍正确，此时θ是钝角，h是负值，表示管内液面低于管外液面。
2h?2?cos??gr
h?如果液体完全浸润管壁θ=0，为凹半球弯月面，表面张力沿管壁身上，
例 在两端开口，半径1mm的玻璃毛细管内装满水，然后把它竖直放置，这时留在管中
?2??7.3?10牛米。 水柱有多长？水的表面张力系数
2??gr。
解：水能完全浸润管壁，留在管内的水柱重量应与上下两个弯月面的表面张力相平衡。
注意：上弯月面θ=0，下弯月面θ=π。
于是??rhg???4?r
2 h 4?4?7.3?10?2?h???3?2.94?10?2米?3?gr10?9.8?10
§3．5 典型例题分析
例1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB将薄膜分隔成两部分(如图3-5-1)。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d，线AB的长度为l(l＞πd/2)，肥皂液的表面张力系数为?。
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图3-4-9
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解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时，线的形状不确定)，不难推测，在l＞πd/2的情况下，线会形成长度为
d/2的半圆，如图3-5-2所示。线在C、D两处的拉力及各处都垂直于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然
A x?1(l??d/2)2的两条直线段和半径为
d B 薄膜 2T??fi
fi指各小式中为在弧线上任取一小段所受的表面张力，
段所受表面张力的合力，如图3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r△θ，与x轴的夹角均为方θ，显然
f1?f2?2??r??
而这两个力的合力必定沿x轴方向，(他们垂直x轴方向分力的合力为零)，这样
? 图3-5-1 A T C ? ? B T D f1x?f2x?2?r?cos???
所以
?f因此
说明 对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。
例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状(侧面向外凸出)，过圆盘轴线的竖直截面如图3-5-3所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180o计算，已知水银密度??13.6?10kgm，水银的表面张力系数
33?2?r?cos????4?r?2?d
T??d
i 3-5-2图
a?0.49Nm。当圆饼的半径很大时，试估算厚度h的数值大约是多少(取一位有效数字)？
分析：取圆饼侧面处宽度为△x，高为h的面元△S，图3-5-3所示。由于重力而产生的水银对△S侧压力F，由F作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势。上下
f1 f4 两层表面张力的合力的水平分量必与F反向，且大小相?x ? 等。△S两侧表面张力f3,f4可认为等值反向的。
1F1?p??S??gh2?xh 2解：
f1cos??f2?F
1a?x(1?cos?)??gh2?x2
2a(1?cos?)h??g
?3?3由于0<θ<90o,有 3?10m?h?4?10m
f2
h f3 F
图3-5-3
例3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡A和B后，如图3-5-4，关闭活栓K，活栓KA和KB则依旧打开，两泡内的空气经管相通，两泡相对平衡。(1)若A泡和B泡的形状小于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是稳定的。若A泡和B泡的形状大于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是不稳定的。(2)若A泡和B泡的形状大于半球，
K
kA K
A图3－5－4
B
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B
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设两管口的半径均为r1?2.00cm，A泡和B泡的半径均为r2?2.50cm。试问当A泡和B泡分别变化成何种形状时，两泡能再次达到平衡，设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可以忽略。
分析：开始时，A泡B泡均小于半球，泡半径应大于管半径。若因扰动使A泡缩小，则泡半径增大，表面张力应减小，A泡内压强变小，这时B泡内气体过来补充，使A泡恢复扰动前的形状，重新达到平衡。对于A泡因扰动稍增大，或B泡因扰动稍增大或缩小的情形可作同样分析。
若A、B泡形状相同，均大于半球。因扰动使A泡缩小，则泡半径变小，表面张力相应增加，A泡内压强变大，使气体从A泡到B泡，A泡缩小和B泡增大后，扰动将持续发展。总之，当A泡和B
r1 泡的形状大于半球时，其间的平衡是不稳定的。值得注意的是，当A泡缩小到半球形状时，即当r2?r1时，A泡半
径最小。若再收缩使形状小于半球时，A泡半径再度增大，根据上面的分析，A泡内的压强将再度下降。当A泡小于半球，B泡大于半球，而两者的半径相同时，两泡内的压强再次相同，这又是一个新的平衡状态。
解：(1)见上面的分析。
(2)新的平衡状态为A泡小于半球，B泡大于半球，两者半径均为r，图3-5-5，有
r r1 h
r1 V0 图3－5－5 43?r?2V03
hV0??h2(r2?),且h?r2?r22?r123
解得r=3.04cm
例4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形栅格，即“蜂窝结构”如图1-5-6(a)所示，平面上原子间距为1.42?103?10h
?a?
图3-5-6
?b?
m，若
石墨的密度为2270kgm，求两层平面间的距离。(碳原子量为12)
解：显然应根据晶格模型进行研究，把晶格平面适当平移，使上下层原子正好对齐，这时原子系统可看成如图3-5-6(b)那样，每个原子属于6个不同晶胞，因此一个晶胞中12/6=2
236293N?6.02?10?2.27?10/12?1.14?101m个原子，石墨中的原子数是1个。晶胞数
是上述原子数的一半，故一个晶胞的体积是
1?293?1.756?10m5.7?1028
2?202晶胞的底面积是 S?3a32?5.239?10m V?h?VS?3.35?10?10m
说明在晶格模型的计算中，初学者往往把晶胞所包含的原子数搞错，误认为石墨晶胞包含了12个原子。这里的关键是要分析其中每一个原子是哪几个晶胞所共有，那么每个晶胞仅只能算其1/n个原子。
例5、用圆柱形的杯子做“覆杯”实验，杯子的半径为R，高度为H，假定开始时杯内水未装满，盖上不发生形变的硬板后翻转放手，由于水的重力作用，硬板将略下降，在杯口和平板间形成凹的薄水层，如图3-5-7所示。假定
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