（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初
等函数I 2.8 函数与方程教师用书
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
2
二次函数 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数 【知识拓展】
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(x1,0)，(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) (3)二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)在b－4ac<0时没有零点．( √ )
(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( √ )
2
2
1x1．(教材改编)函数f(x)＝x－()的零点个数为( )
2A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B
1
解析 f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝，
2∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点．
11
2．(2016·杭州检测)函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是( )
2x1
A．(，1)
eC．(2，e) 答案 C
1111111
解析 因为f()＝－＋－e－2<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0，
e2e222e11
所以f(2)f(e)<0，所以函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在区间是(2，e)．
2x3．函数f(x)＝2|log0.5 x|－1的零点个数为________． 答案 2
x12B．(1,2) D．(e,3)
?1?x解析 由f(x)＝0，得|log0.5x|＝??，
?2??1?x作出函数y＝|log0.5x|和y＝??的图象，
?2?
由上图知两函数图象有2个交点， 故函数f(x)有2个零点．
4．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
?1?答案 ?，1?
?3?
解析 ∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得
f(－1)f(1)<0，
1
∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得
3
?1?∴实数a的取值范围是?，1?. ?3?
题型一 函数零点的确定 命题点1 确定函数零点所在区间
?1?x－2
例1 (1)(2016·余姚调研)已知函数f(x)＝ln x－??的零点为x0，则x0所在的区间是
?2?
( ) A．(0,1) C．(2,3)
B．(1,2) D．(3,4)
1x－23
(2)(2016·杭州模拟)设函数y＝x与y＝()的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，
2
n∈N，则x0所在的区间是________．
答案 (1)C (2)(1,2)
?1?x－2
解析 (1)∵f(x)＝ln x－??在(0，＋∞)为增函数，
?2??1?－1
又f(1)＝ln 1－??＝ln 1－2<0，
?2?
f(2)＝ln 2－??0<0，
2
?1???
f(3)＝ln 3－??1>0，
2
∴x0∈(2,3)，故选C.
1x－23
(2)令f(x)＝x－()，则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的
2区间是(1,2)．
命题点2 函数零点个数的判断
??x－2，x≤0，
例2 (1)函数f(x)＝?
?2x－6＋ln x，x>0?
2
?1???
的零点个数是________．
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝
f(x)－log3|x|的零点个数是( )
A．多于4 C．3
答案 (1)2 (2)B
解析 (1)当x≤0时，令x－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个1
零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)
2
B．4 D．2
x＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象如图，
观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．
思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．
(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．
6
(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
xA．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4)
2
D．(4，＋∞)
(2)函数f(x)＝xcos x在区间[0,4]上的零点个数为( ) A．4 C．6
答案 (1)C (2)C
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解析 (1)因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所
22以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
(2)由f(x)＝xcos x＝0，得x＝0或cos x＝0. 又x∈[0,4]，所以x∈[0,16]． π
由于cos(＋kπ)＝0(k∈Z)，
2而在
ππ3π5π7π9π＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有，，，，满足在[0,16]内，故零点222222
22
2
B．5 D．7
个数为1＋5＝6. 题型二 函数零点的应用
2x例3 (1)函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )
xA．(1,3) C．(0,3)
2
B．(1,2) D．(0,2)
(2)已知函数f(x)＝|x＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________． 答案 (1)C (2)(0,1)∪(9，＋∞)
22xx解析 (1)因为函数f(x)＝2－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2－－a的一
xx个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0＜a＜3.
(2)设y1＝f(x)＝|x＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1＝|x＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．
2
2
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x＋3x|与y2＝a|x－1|的图象
2