广东省云浮市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
1．（5分）命题“若x＞2，则x﹣3x+2＞0”的逆否命题是（）
22
A． 若x﹣3x+2＜0，则x≥2 B． 若x≤2，则x﹣3x+2≤0
22
C． 若x﹣3x+2≤0，则x≥2 D． 若x﹣3x+2≤0，则x≤2
2．（5分）已知直线ax+y+2=0的倾斜角为 A． 1
3．（5分）已知椭圆 A． 2
4．（5分）已知向量 A． 0°
B． 45°
2
2
2
，则a等于（） C．
D．﹣2
B． ﹣1
+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），则椭圆的短轴长为（）
C． 6
D．4
B． 4
，则与的夹角为（）
C． 90°
D．180°
5．（5分）直线l过圆x+y﹣2x+4y﹣4=0的圆心，且在y轴上的截距等于圆的半径，则直线
l的方程为（） A． 5x+y﹣3=0 B． 5x﹣y﹣3=0 C． 4x+y﹣3=0 D．3x+2y﹣6=0 6．（5分）已知直线a，平面α，β，且a?α，则“a⊥β”是“α⊥β”的（） A． 充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 7．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）
A． 90cm
2
3
B． 95.5cm
3
C． 102cm
3
D．104cm
3
8．（5分）过抛物线y=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P、Q两点，
分别过P、Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1、Q1，若|PQ|=2，则四边形PP1Q1Q的面积是（） A． B． 2 C． 3 D．1
二、填空题:本大题共有6个小题，每小题5分，共30分
2
9．（5分）命题“?x∈Z，x+2x+m≤0”的否定是．
10．（5分）已知双曲线x﹣
2
=1（b＞0）的离心率为，则b=．
11．（5分）已知球O的表面积是其半径的6π倍，则该球的体积为．
12．（5分）已知抛物线y=2px（p＞0）的准线与直线x+y﹣3=0以及x轴围成三角形面积为8，则p=．
13．（5分）已知圆C：x+y﹣4x+m=0与圆（x﹣3）+（y+2则点P到直线mx﹣4y+4=0的距离的最大值为．
2
2
2
2
）=4外切，点是圆C一动点，
2
14．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．
三、解答题：本大题共有6个小题，共80分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 15．（12分）已知直线l：x﹣2y﹣1=0，直线l1过点（﹣1，2）． （1）若l1⊥l，求直线l1与l的交点坐标； （2）若l1∥l，求直线l1的方程．
16．（13分）设条件p：x﹣6x+8≤0，条件q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
17．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点
（1）求证：DE∥平面ABC； （2）求三棱锥E﹣BCD的体积．
2
18．（14分）已知圆C：x+y+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程． 19．（14分）在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2． （Ⅰ）证明DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣E的余弦值．
2
2
20．（14分）在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．
广东省云浮市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
2
1．（5分）命题“若x＞2，则x﹣3x+2＞0”的逆否命题是（）
22
A． 若x﹣3x+2＜0，则x≥2 B． 若x≤2，则x﹣3x+2≤0
22
C． 若x﹣3x+2≤0，则x≥2 D． 若x﹣3x+2≤0，则x≤2
考点： 四种命题． 专题： 简易逻辑．
分析： 根据逆否命题的定义写出命题的逆否命题即可．
2
解答： 解：命题“若x＞2，则x﹣3x+2＞0”的逆否命题是：
2
若x﹣3x+2≤0，则x≤2， 故选：D．
点评： 本题考查了四种命题之间的关系，是一道基础题．
2．（5分）已知直线ax+y+2=0的倾斜角为，则a等于（）
D．﹣2
A． 1 B． ﹣1 C．
考点： 直线的倾斜角． 专题： 直线与圆．
分析： 利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出．
解答： 解：∵直线ax+y+2=0的倾斜角为∴﹣a=
，
，
∴a=1．
点评： 本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
3．（5分）已知椭圆
+
=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），则椭圆的短轴长为（）
D．4
A． 2 B． 4 C． 6
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 利用椭圆出椭圆的短轴长．
+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），可得8﹣b=4，求出b，即可求
2
解答： 解：因为椭圆所以8﹣b=4，
所以b=2，
2
+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），
所以2b=4， 故选：B．
点评： 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
4．（5分）已知向量
A． 0° B． 45°
考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 计算题．
，则与的夹角为（）
C． 90°
D．180°
分析： 设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得，θ=90°
解答： 解：设则与的夹角为θ 由向量夹角的定义可得，
0°≤θ≤180°可得
∵0°≤θ≤180°
∴θ=90° 故选C
点评： 解决本题的关键需掌握：向量数量积的坐标表示，还要知道向量的夹角的范围，只有数列掌握基础知识，才能在解题时灵活应用．
5．（5分）直线l过圆x+y﹣2x+4y﹣4=0的圆心，且在y轴上的截距等于圆的半径，则直线l的方程为（） A． 5x+y﹣3=0 B． 5x﹣y﹣3=0 C． 4x+y﹣3=0 D．3x+2y﹣6=0
考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆．
分析： 首先将圆的方程化为标准方程，明确圆心即半径，利用两点式求出直线方程．
22
解答： 解：由已知得圆的方程为（x﹣1）+（y+2）=9， 所以圆心为（1，﹣2），半径为3，
22
由两点式导弹直线方程为：，
化简得5x+y﹣3=0． 故选A．
点评： 本题考查了直线与圆的位置关系以及两点式求直线方程，属于基础题目． 6．（5分）已知直线a，平面α，β，且a?α，则“a⊥β”是“α⊥β”的（） A． 充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件