第6章 二次型
§6.1 二次型的矩阵表示
一、二次型的概念
定义1 含有n个变量x1,x2,?,xn的二次齐次函数
f(x1,x2,?,xn)?a11x12?a22x22???annx2n?2a12x1x2???2a1nx1xn?2a
23x2x3???2a2nx2xn???2an?1,nxn?1xn称为二次型. 二、二次型的矩阵
取aji?aij,则2aijxixj?aijxixj?ajixjxi,于是
f(x1,x2,?,xn)?a11x12?a12x1x2???a1nx1xn?a21x2x1?a22x22???a2nx2xn?????????
?an1xnx1?an2xnx2???annx2nn?xixji?aij,j?1?x1(a11x1?a12x2???a1nxn)?x2(a21x1?a22x2???a2nxn)??????????
?xn(an1x1?an2x2???annxn)??a11x1?a12x2???a1nxn??(x?,x?ax?ax?2???a2nxn?1,x2,n)?21122???????????an1x1?an2x2???a?nnxn????a11a12?a1n???(x?aa22?a??x1??2n??x2?1,x2,?,xn)?21????????an1an2?a?????nn?????xn???XTAX.??x1???a11a12?a1n?其中
X??x?a??2?A??a22?a2n????,?21????.
????x?n????an1a?n2?ann?? 1
称f(x)?XTAX为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A称为该二次型的矩阵.二次型f称为实对称矩阵A的二次型. 实对称矩阵A的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f与其实对称矩阵A之间有一一对应关系. 例 写出下列是二次型相应的对称阵. (1)
f(x,y)?x2?3xy?y2?x2?32xy?32xy?y2, 其矩阵为
??13/2???3/21???. (2)
f(x,y,z)?3x2?2xy?2xz?y2?4yz?5z2
?3x2?xy?2xz?xy?y2?2zy?22xz?2yz?5z22 ?相应的实对称阵为 ?312/2???1?1?2??. ??2/2?25??? (3)
f(x22221,x2,x3,x4)?x1?x2?x3?x4,
相应的实对称阵是一个对角阵:
??1000? ?0100????0010?. ??000?1??? (4)
f(x1,x2,x3,x4)?x1x2?2x1x3?4x1x4?3x2x4相应的对称阵为
??01/21?2? ?1/2003/2????1000?. ???23/200???例 写出矩阵A??11???10?对应的二次型? ?1例
设有实对称矩阵A???10??10?1/2???, 求A对应的实二次型.
?0?1/22??解 A是三阶阵，故有3个变量，则实二次型为
?f(xx??110??x1?1,x2,x3)?(x1,2,x3)?10?1/2?????x?2???x2?2x211x2?x2x3?2x3. ?0?1/22????x3??
只含有平方项的二次型 f?k2221y1?k2y2???knyn 称为二次型的标准型
2
§6.2 化二次型为标准形
定义2 关系式
?x1?c11y1?c12y???c1nyn??x2?c21y1?c22y???c2nyn???????????????xn?cn1y1?cn2y???cnnyn
称为由变量x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn的线性变换. 记为X?c11c12?c21c22矩阵C???????c?n1cn2????c1n??c2n?称为线性变换矩阵. ???cnn???CY，
若|C|?0（即可逆矩阵），称该线性变换为可逆线性变换. 若C为正交矩阵，称该线性变换为正交变换.
对于一般二次型f(X)?XTAX,我们的问题是：寻求可逆的线性变换
X?CY将二次型化为标准型，将其代入得
f(X)?XTAX?(CY)TA(CY)?YT(CTAC)Y
这里，YT(CTAC)Y为关于y1,y2,?,yn的二次型，对应的矩阵为CTAC.
注: 要YT(CTAC)Y为标准型，即要CTAC为对角矩阵，即
?b1??YTCTACY?(y1,y2,?,yn)????b2??y1??????y2?222?b1y1?b2y2???bnyn. ??????????bn???yn?由上章实对称矩阵对角化的方法，可取C为正交变换矩阵P. 定理1 任给二次型f??aijxixj(ajii,j?1n?aij), 总有正交变换X?PY, 使f
化为标准形f22??1y12??2y2????nyn,
其中?1,?2,?,?n是f的矩阵A?(aij)的特征值. 用正交变换化二次型为标准形的步骤：
3
(1) 将二次型表成矩阵形式f(2) 求出A的所有特征值
?XTAX, 求出A;
?1,?2,?,?n;
(3) 求出对应于特征值的特征向量 ?1,?2,?,?n;
(4) 将特征向量?1,?2,?,?n正交化, 单位化, 得?1,?2,?,?n, 记
C?(?1,?2,?,?n);
(5) 作正交变换X?CY,则得f的标准形
22f??1y12??2y2????nyn.
例 将二次型
x?PY,
22f?17x12?14x2?14x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3通过正交变换
化成标准形.
?17?2?2????214?4A???, ??2?414???解 (1) 写出二次型矩阵:
(2) 求其特征值:由
??17|?E?A|?22422??144?(??18)2(??9)
?1?9,?2??3?18.
??14(3) 求特征向量：
将?1?9代入(?E?A)x?0,得基础解系?1?(1/2,1,1)T.
将?2??3?18代入(?E?A)x?0,得基础解系?2?(?2,1,0)T,?3?(?2,0,1)T. (4) 将特征向量正交化 取?1??1,?2??2,?3??3?[?2,?3]?2, [?2,?2]得正交向量组: 将其单位化得:
?1?(1/2,1,1)T,?2?(?2,1,0)T,?3?(?2/5,?4/5,1)T.
??2/45???2/5??1/3????????1??2/3?,?2??1/5?,?3???4/45?.
?????2/3?????5/450?????? 4
作正交矩阵:
?1/3?2/5?P??2/31/5??2/30??2/45???4/45?.
?5/45???2/45?y????1??4/45??y2?,
?5/45??y3????(5)
1/3?2/5?x1?????故所求正交变换为?x2???2/31/5?x??2/30?3???在此变换下原二次型化为标准形:
222f?9y1?18y2?18y3.
对于简单的二次型，也可以用用配方法解之.
22例 将x12?2x1x2?2x1x3?2x2化为标准形. ?4x2x3?x3解 因标准形是平方项的代数和，可利用配方法解之.
222 x1?2x1x2?2x1x3?2x2?4x2x3?x3222 ?x1?2x1(x2?x3)?(x2?x3)2?(x2?x3)2?2x2?4x2x3?x32?(x1?x2?x3)2?x2?2x2x3 2 ?(x1?x2?x3)2?(x2?x3)2?x3 (1)
?y1?x1?x2?x3?, 即 令 ?y2?x2?x3?y?x3?3?x1?y1?y2??x2?y2?y3, ?x?y3?322代入(1)式得二次型的标准形y12?y2?y3,
例 化二次型的变换矩阵. 解
22f?x12?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准形, 并求所用
222222f?x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3?x1?2x1x2?2x1x3?2x2?5x3?6x2x3
2222?(x1?x2?x3)2?x2?x3?2x2x3?2x2?5x3?6x2x3 22?(x1?x2?x3)2?x2?4x3?4x2x3
?(x1?x2?x3)2?(x2?2x3)2. ?y1?x1?x2?x3??y2?x2?2x3 ?y?x3?3?x1?y1?y2?y3??x2?y2?2y3 ?x?y3?3令
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