洛阳市2017—2018学年高中三年级第一次统一考试
数学试卷(理) 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
21.设全集U?R，集合A?xlog2x?1，B?xx?x?2?0，则A?CUB?（ ）
????A．(0,1] B．(?2,2] C．(0,1) D．[?2,2]
2.若m?i??1?2i??ni（m,n?R,i是虚数单位），则n?m等于（ ） A．3 B．2 C．0 D．-1
3.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”： （1）对?x?R，都有f??x??f?x??0； （2）对?x1,x2?R，且x1?x2，都有
f(x1)?f(x2)?0．
x1?x22①f?x??sinx；②f?x???2x3；③f?x??1?x；④f?x??ln(x?1?x)以上四个函数中，“优美函数”的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
??????4.已知向量a??m,2?，b??3,?6?，若|a?b|?|a?b|，则实数m的值是（ ）
A．-4 B．-1 C. 1 D．4
5.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）
A．求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和
B．求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和 C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和 D．求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和
?x?y?3?0?6.设x,y满足约束条件?x?y?1?0，则z?2x?y的最小值与最大值的和为（ ）
?x?3?A．7 B．8 C. 13 D．14
7.已知函数f?x??sinx?3cosx?x?R?，先将y?f?x?的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移????0?个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则?的最小值为（ ） A．
13??5?2? B． C. D．
183938.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（ ）
2???2? B．4? C. 8? D．4? 3333?169.若a??sinxdx，则二项式(ax?)的展开式中的常数项为（ ）
0xA．8?A．-15 B．15 C. -240 D．240
10.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，且a?c?ac?bc，则
22c?（ ）
bsinBA．
3233 B． C. D．3 233211.已知F是抛物线C1:y?2px?p?0?的焦点，曲线C2是以F为圆心，以
p为半径的圆，2直线4x?3y?2p?0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D，则|A．16 B．4 C.
AB|?（ ） CD85 D． 3312.已知函数f?x?满足f?1?x??f?1?x??f?x?1??x?R?，且当0?x?1时，
f?x??2x?1，则方程|cos(?x)|?f(x)?0在??1,3?上的所有根之和为（ ）
A．8 B．9 C. 10 D．11
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知sin??cos??5，则cos4?? ． 214.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有 种（用数字作答）．
15.在半径为4的球面上有不同的四点A,B,C,D，若AB?AC?AD?4，则平面BCD被球所截得图形的面积为 ．
x2y216.已知F1,F2为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，P(x0,y0)是双曲线C右
ab支上的一点，连接PF1并过F1的直线交双曲线左支于R,Q，其中R(?x0,?y0)，1作垂直于PF?QF1P为等腰三角形．则双曲线C的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
?17.已知各项均不为零的数列?an?的前n项和为Sn，且对任意n?N，满足Sn?1a1(an?1)． 3（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足anbn?log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn?8． 918.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 天数 38 10 39 15 40 10 41 10 42 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数 38 5 39 10 40 10 41 20 42 5 （1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
19.如图，在四棱锥P?ABCD中，E,F分别是PC,PD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，PA?PD?2，且平面PAD?平面ABCD．
（1）求证：平面AEF?平面PCD；
（2）求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．
x2y220.已知短轴长为2的椭圆E:2?2?1(a?b?0)，直线n的横、纵截距分别为a,?1，且
ab原点到直线n的距离为3． 2（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l经过椭圆的右焦点F2且与椭圆E交于A,B两点，若椭圆E上存在一点C满足
?????????????OA?3OB?2OC?0，求直线l的方程．
21.已知函数f?x??mlnx1a?n，g(x)?x2(f(x)??)（m,n,a?R），且曲线y?f?x?xx2在点(1,f(1))处的切线方程为y?x?1．
（1）求实数m,n的值及函数f?x?的最大值；
（2）当a?(?e,)时，记函数g?x?的最小值为b，求b的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?1e?x?t（t为参数，m?R），以原点O为极
?y?m?t点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
?2?3?0?????．
3?2cos2?（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为22，求m的值． 23.选修4-5：不等式选讲
1|x?a|?a?R?. 31（1）当a?2时，解不等式|x?|?f?x??1；
3111（2）设不等式|x?|?f?x??x的解集为M，若[,]?M，求实数a的取值范围．
332已知函数f?x??