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???1e?ptcos?t??0?1?cos?t?(?pe?pt)dt?1???p?0??20???e?ptdsin?t
1p ??2e?ptsin?t??0????2?0.
p??p2???pt1sin?t?(?pe)dt??2?0esin?tdt,
?pt??所以 (6)??????0e?ptsin?tdt??p?w22dx;
??2x?2x?2????dxdx 解 ???2?????arctan(x?1)2x?2x?21?(x?1)???????(?)??.
22? (7)?01x1?x2dx;
解 这是无界函数的反常积分, x?1是被积函数的瑕点.
2?01x1?x2dx??1?x2102?lim(?1?x)?1?1. ?x?1 (8)?0dx;
(1?x)2 解 这是无界函数的反常积分, x?1是被积函数的瑕点. 因为
2dx12dxdx?? ?0, ??22201(1?x)(1?x)(1?x)1dx111??lim?1???, 而 ?0?20x?11?x1?x(1?x)2dx所以反常积分?0发散.
(1?x)2 (9)
?2xdxx?11;
解 这是无界函数的反常积分, x?1是被积函数的瑕点.
?12xdx32??1(x?1?)dx?[(x?1)2?2x?1]3x?1x?12121
38222?2x?1]?2. [(x?1) ??lim3x?1?33 (10)?edxx1?(lnx)21.
解 这是无界函数的反常积分, x?e是被积函数的瑕点.
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dxx1?(lnx)2?1e??1e11?(lnx)??2dlnx?arcsin(lnx)e1?limarcsin(lnx)??x?e?2.
2. 当k为何值时, 反常积分?0dx收敛? 当k为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为
x(lnx)k何值时, 这反常积分取得最小值?
????dx11?k?1???dlnx?(lnx)???; 解 当k?1时, ?2?21?kx(lnx)k2(lnx)k??????1dx?dlnx?ln(lnx)???; 当k?1时, ?2?k2lnx2x(lnx)????dx111?k?1??1?k?dlnx?(lnx)?(ln2) 当k?1时, ?2. ?21?kk?1x(lnx)k2(lnx)k 因此当k?1时, 反常积分?0 当k?1时, 令f(k)??0 f?(k)??1(k?1)2??????dxdx收敛; 当k ?1时, 反常积分?0x(lnx)k发散.
x(lnx)kdxx(lnx)k1?k?1(ln2)1?k, 则 k?1(ln2)(ln2)1?klnln2111?k?(ln2)lnln2??(k?1?). 2k?1lnln2(k?1) 令f ?(k)?0得唯一驻点k?1? 因为当1?k?1?1. lnln2111时f ?(k)?0, 当k?1?时f ?(k)?0, 所以k?1?为极小值点, lnln2lnln2lnln21时, 这反常积分取得最小值 lnln2??同时也是最小值点, 即当k?1? 3. 利用递推公式计算反常积分In??0xne?xdx. 解 因为
In??0xne?xdx???0xnde?x??xne?x所以 I n? n?(n?1)?(n?2)?????2?I1. 又因为 I1??0xe?xdx???0xde?x??xe?x??????0??????0?n?0xn?1e?xdx?nIn?1,
????0e?xdx??e?x????0?1,
所以 I n? n?(n?1)?(n?2)?????2?I1?n!. 总习题五
1. 填空:
(1)函数f(x)在[a, b]上(常义)有界是f(x)在[a, b]上可积的______条件, 而f(x)在[a, b]上连续是f(x)在[a, b]上可积______的条件;
解 函数f(x)在[a, b]上(常义)有界是f(x)在[a, b]上可积的___必要___条件, 而f(x)在[a, b]上
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连续是f(x)在[a, b]上可积___充分___的条件;
(2)对[a, +?)上非负、连续的函数f(x), 它的变上限积分?af(x)dx在[a, +?)上有界是反常积分?af(x)dx收敛的______条件;
解 对[a, +?)上非负、连续的函数f(x), 它的变上限积分?af(x)dx在[a, +?)上有界是反常积分?af(x)dx收敛的___充分___条件;
(3)绝对收敛的反常积分?af(x)dx一定______; 解 绝对收敛的反常积分?af(x)dx一定___收敛___;
(4)函数f(x)在[a, b]上有定义且|f(x)|在[a, b]上可积, 此时积分?af(x)dx______存在. 解 函数f(x)在[a, b]上有定义且|f(x)|在[a, b]上可积, 此时积分?af(x)dx___不一定___存在.
2. 计算下列极限: 1ni (1)lim?1?;
n??ni?1n11ni2(1?x)3 解 lim?1???01?xdx?n??ni?1n31bb??????x??x2?(22?1). 03 (2)limn??1p?2p? ? ? ? ?npnp?1(p>0);
解 lim1p?2p? ? ? ? ?np1p2pnp11p1p?111. ?lim[()?()? ? ? ? ()]??xdx?x??p?100n??n??nnnnp?1p?1nn (3)limlnn??n!; nnn!11?lim[(ln1?ln2? ? ? ? ?lnn)??nlnn]
n??nn??nn1 ?lim[(ln1?lnn)?(ln2?lnn)? ? ? ? ?(lnn?lnn)]?
n??n 解 limln12n11 ?lim(ln?ln? ? ? ? ?ln)???lnxdx
n??nnnn024|28
?(xlnx) (4)lim1011010??0dx?(xlnx)?x??1.
xx?f(t)dt, 其中f(x)连续; x?ax?aa 解法一 limx?axx?axf(?)?af(a) (用的是积分中值定理). ?af(t)dt??lim?ax?af(t)dtx?axx 解法二 limxxx?f(t)dt?limx?ax?aax?a2?limx?a?af(t)dt?xf(x)?af(a) (用的是洛必达法则).
1x (5)
x????(arctant)lim0x?1x2dt.
解
x???(arctant)?0limx2?12dt2(arctanx)21?x22?. ?lim?lim(arctanx)?x???x??xx4x2?1 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:
1d()1dx1x?(?arctan1) (1)?????1?11x1?x21?()2x 解 计算不正确, 因为
dxx?x?121?1???2;
1在[?1, 1]上不连续. x???11 (2)因为??11x?1tdtt?t?12, 所以?12dxx?x?1?1?0.
1 解 计算不正确, 因为在??1, 1]上不连续.
t??xAx (3)?dx?limdx?0. ???A???A1?x21?x2 解 不正确, 因为
??x0xbxAx ?dx?limdx?limdx?limdx. ???2222??a0?Aa???b???A???1?x1?x1?x1?x1dxp??0?1. 4. 设p>0, 证明
p?11?xp 证明 1?
111?xp?1?xp?xp1?xp1dx?1?1xp1?xp?1?xp. 因为
p?0(1?x)dx??01?xp??0dx,
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pxp?11)0?而 ?0dx?1, ?0(1?x)dx?(x?, p?11?p11p所以
1dxp??0?1. p1?p1?x 5. 设f (x)、g (x)在区间[a, b]上均连续, 证明: (1)[?af(x)g(x)dx]2??af2(x)dx??ag2(x)dx;
证明 因为[f(x)??g(x)]2?0, 所以?2g 2(x)?2? f(x)g(x)?f 2(x)?0, 从而 ?2?ag2(x)dx?2??af(x)g(x)dx??af2(x)dx?0.
上式的左端可视为关于?的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小
于等于0, 即
4[?af(x)g(x)dx]2?4?af2(x)dx??ag2(x)dx?0,
bbbbbbbbbbbb亦即 [?af(x)g(x)dx]2??af2(x)dx??ag2(x)dx. (2)
11b2b22??2??2, ??ab[f(x)?g(x)]2dx?1??f(x)dxg(x)dx?a?a 证明
?a[f(x)?g(x)]b2b2dx??af2(x)dx??ag2(x)dx?2?af(x)g(x)dx
2b2b21(x)dx]2bbbb ??af(x)dx??ag(x)dx?2[?af(x)dx??ag又
b,
1b1?abf2(x)dx??ag2(x)dx?2[?af2(x)dx??ag2(x)dx]2?[?af2(x)dx]2?[?ag2(x)dx]211b2b22??2??2. ??ab[f(x)?g(x)]2dx?1??f(x)dxg(x)dx?a?abbbbb1??2,
所以
6. 设f (x)在区间[a, b]上连续, 且f (x)>0. 证明?af(x)dx??abbbdx?(b?a)2. f(x) 证明 已知有不等式[?af(x)g(x)dx]2??af2(x)dx??ag2(x)dx, 在此不等式中, 取f(x)?1f(x)b, g(x)?f(x), 则有
2?a[f(x)]?dx??a[b1f(x)]2dx?[?af(x)?b1f(x)dx]2,
即
?af(x)dx??abbdx?(b?a)2. f(x)