(a)
(b) (c) 图10 由点的坐标作点的三面投影图
【例2】如图11(a)所示，已知点A的正面投影a′和侧面a″，求作该点的水平投影a。 【解】作图步骤如图11(b)所示： ① 自a′向下作OX轴的垂线；
② 自a″向下作OYW轴的垂线与45°辅助线交于一点，并由该交点作OYH轴的垂线，与过a′垂直于OX轴的直线交于a,a即为A点的水平投影。
(a) (b) 图11 由点的两面投影求其第三面投影
1.3 两点的相对位置
1.3.1 两点相对位置的确定
两点的相对位置是指以两点中的一点为基准，另一点相对该点的左右、前后和上下的位置。点的位置由点的坐标确定，两点的相对位置则由两个点的坐标差确定。
如图12（a）所示，空间有两个点A（xA，yA，zA）、B（xB，yB，zB）。若以B点为基准，则两点的坐标差为ΔxAB＝xA－xB 、ΔyAB＝yA－yB 、ΔzAB＝zA－zB 。x坐标差确定两点的左右位置，y坐标差确定两点的前后位置，z坐标差确定两点的上下位置。三个坐标差均为正值，则点A在点B的左方、前方、上方。从图12（b）看出，三个坐标差可以准确地反映在两点的投影图中。
(a)
图12 两点的相对位置
(b)
1.3.2 重影点
当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。
如图13（a），A、B两点位于V面的同一条投射线上，它们的正面投影a′、b′重合，称A、B两点为对V面的重影点，这两点的x、z坐标分别相等，y坐标不等。同理，C、D两点位于H面的同一条投射线上，它们的水平投影c、d重合，称C、D两点为对H面的重影点，它们的x、y坐标分别相等，z坐标不等。
(b) 图13 重影点
由于重影点有一对坐标不相等，所以，在重影的投影中，坐标值大的点的投影会遮住坐标值小的点的投影，即坐标值大的点的投影可见，坐标值小的点的投影不可见。在投影图中，对于重影的投影，在不可见点投影的字母两侧画上圆括号。如图13（b），A、B两点为对V面的重影点，它们的正面投影重合，yA＞yB，点A在点B的前方，a′可见，表示为a′；b′不可见，表示为（b′）。C、D两点为对H面的重影点，它们的水平投影重合，zC＞zD，点C在点D的上方，c可见，表示为c；d不可见，表示为（d）。
2 直线
本书所述直线一般是指直线段。
空间直线由不重合的两个点确定。直线的方向可用直线对三个投影面的倾角表示。直线对H、V、W面的倾角分别为α、β、γ，如图14所示。
2.1 直线的投影
直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为一点。要作一直线的三面投影图，只要作出该直线的两个端点A、B的三面投影，如图14所示，求出A、B两点的三面投影，然后将两点的同面投影连接起来，即得直线的三面投影ab、a′b′、a″b″。由直线的投影可以确定该直线的空间情况。图14（b）中点B在点A
(a)
的右、后、上方，由此可以定性地得知，在空间直线由端点A到端点B是从左、前、下方到右、后、上方，如图14（a）所示。
(a)
图14 一般位置直线
(b)
2.2 各种位置直线的投影
直线根据其对投影面的位置不同，可以分为三类：一般位置直线、投影面的垂直线、投影面的平行线，其中后两类直线统称为特殊位置直线。
2.2.1 一般位置直线
一般位置直线是指对三个投影面既不垂直又不平行的直线。
如图14所示，直线AB对H、V和W面均处于既不垂直又不平行的位置，AB为一般位置直线。直线AB的三个投影长与其实长的关系如下：
ab=ABcosα；a′b′=ABcosβ；a″b″=ABcosγ。
由于一般位置直线对三个投影面的倾角α、β、γ既不等于0°，也不等于90°，所以，其 cosα、cosβ和cosγ均大于0且小于1，因此，AB的各投影长都小于该直线的实长。
一般位置直线的投影特性为：三个投影都倾斜于投影轴，既不反映直线的实长，也不反映对投影面的倾角。
2.2.2 投影面的垂直线
投影面的垂直线是指垂直于某一个投影面的直线。在三投影面体系中有三个投影面，因此这类直线有三种：铅垂线——垂直于H面的直线、正垂线——垂直于V面的直线、侧垂线——垂直于W面的直线。
在三投影面体系中，投影面的垂直线垂直于某个投影面，它必然同时平行于其它两投影面，所以这类直线的投影具有反映直线实长和积聚的特点。
以表1中的铅垂线AB为例，AB垂直于H面，同时平行于V、W面，其投影特性如下。 (1) 水平投影ab积聚为一点；
(2) 正面投影a′b′垂直于OX轴； 侧面投影a″b″垂直于OYw轴； (3) 正面投影a′b′和侧面投影a″b″均反映实长，即a′b′=a″b″=AB。 同样，正垂线和侧垂线也有类似的投影特性，见表1。 表１投影面的垂直线
总之，投影面垂直线的投影特性为：
(1) 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；
(2) 投影面垂直线的另外两面投影分别垂直于该直线垂直的投影面所包含的两个投影轴，且均反映此直线的实长。
2.2.3 投影面的平行线
投影面的平行线是指只平行于某一个投影面的直线。因为在三投影面体系中有三个投影面，所以这类直线有三种：水平线——只平行于H面的直线、正平线——只平行于V面的直线、侧平线——只平行于W面的直线。
在三投影面体系中，投影面的平行线只平行于某一个投影面，与另外两个投影面倾斜。这类直线的投影具有反映直线实长和对投影面倾角的特点，没有积聚性。
以表2中的水平线AB为例，AB平行于H面，同时倾斜于V、W面，其投影特性如下。 (1) 水平投影ab反映直线AB的实长，即ab=AB；
(2) 水平投影ab与OX轴的夹角反映直线AB对V面的倾角β，与OYH轴的夹角反映直线AB对W面的倾角γ；
(3) 正面投影a′b′平行于OX轴， 侧面投影a″b″平行于OYW轴。
同样，正平线和侧平线也有类似的投影特性，见表2。 表2投影面的平行线
总之，投影面平行线的投影特性为：
(1) 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映直线的实长，此投影与该投影面所包含的投影轴的夹角反映直线对其他两个投影面的倾角；
(2) 投影面平行线的另外两面投影分别平行于该直线平行的投影面所包含的两个投影轴。
【例3】如图15所示，根据三棱锥的投影图，判别棱线SA、SB、SC及底边AB、BC、CA是什么位置的直线。