三角形各种心的性质研究
一、基础知识
三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨．
1．重心：设G是?ABC的重心，AG的延长线交BC于D，则，(1)BD?DC， （ 2）AG:AD?2:3 ；
S2AB2?2AC2?BC2（3）AD?，（4）S?GBC??ABC．
342.外心：设⊙O（R）是?ABC的外接圆，OD?BC于D交⊙O于E，则 （1）OA?OB?OC?R；（2）?BOC?2?A或2(1800??A)；
⌒⌒abc?2RsinAsinBsinC（正弦定理） （3）BD?DCBE=EC；（4）S?ABC?4R2?BIC?90??3.内心：设?ABC的内心圆⊙I（r)切边AB于P，AI的延长线交外接圆于D，则 （1）
(2)AP?rcot1?A; 21b?c?a1r(a?b?c)?A??(a?b?c)?a；(3)DB?DI?DC；(4)S?ABC?; 22224.垂心：设O,G,H分别是?ABC的外心，重心，垂心，OD?BC于D，AH的延长线交外接圆于H1，则，（1）AH?2OD；（2）H与H1关于BC成轴对称；（3）⊙BCH?⊙ABC；（4）且OG:GH?1:2； O,G,H,三点共线，
10?BIC?90??A； 5．旁心：设?ABC在?A内的旁切圆⊙I1（r1)与AB的延长线切于P，则，（1）112r(b?c?a)?Aa?b?ca?b?c?C?（2）AP1?r1ctg；（3）BP1?；（4）?AI1B?；（5）S?ABC?1 222226．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系
在△ABC中，内切圆⊙O分别与三边相切于点M,KL，BC边上的帝切圆⊙Oa与BC边切于点H，且分别与AB边和AC这的延长线相切于点Q、点P．设三边BC、CA、AB分别为a,b,c，?A,?B,?C分别为?,?,?，
p?1(a?b?c)，内切圆半径为r，旁切圆半径分别为ra,rb,rc，外接圆半径为R，三角形面积为S?，则有如下2关系式：（1）AP?p，AK?p?a，LH?b?c；（2）ra?于三角形周长的一半；（4）ra?rp；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等p?a11111(p?b)(p?c)；（5）（6）ra????；rrarrbrcrtan?2?tan?2
7．界心 EA如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这
MO边两端点之间．
三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中I线所在直线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线交于一点．
BC定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心．
二、例题分析 F例1．设△ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，?B?60?，?A??C，?A的外角平分线交圆O于E，
1
证明：（1）IO?AE；（2）2R?IO?IA?IC?(1?3)R．
【证明】（1）延长BI交外接圆于M，连结OA,OM,Am，易知?AOM??B?60?，故△AOM为正三角形，
∴OM?OA?AM?CM．易证?MIA??MAI，∴MA?MI． 同理，MC?MI，即A,O,I,C在以M为圆心，R为半径的圆上，
设AI的延长线交BC于F，则AF、AE分别为?A的内、外角平分线，?EAF?90?，即EF为⊙O的直径，∴?OAI??OFI?⌒1?AOE． 21又在⊙M中，?OAI??OMI，∴?AOE??OMI，但⊙M与⊙O为等圆，故AE?OI．
2FC为等边三角形，IC?IF （2）连接FC，同上易证IF?FC，又?IFC??ABC?60?，∴△I1111∵?AFE??AOE??OMI?(?AMI??AMO)?(?C?60?)，记?AFE为?
2222∴IO?IA?IC?AE?IA?AF?AE?AF?2Rsin??2Rcos??2R(sin??cos?)
C?15?) 211由?A??C知，60???C?120?，从而有30???C?60?，即45???C?15??75?
22 ?22Rsin(??45?)?22Rsin(∴22Rsin45??IO?IA?IC?22Rsin75?，又sin75??故2R?IO?IA?IC?(1?3)R． 例
2．锐角△ABC的外心为O，线段OA,BC的中点分别为M、N．，
2?6， 4?ABC?4?OMN?ACB?6?OMN．求?OMN．
【解】设?OMN??，则?ABC?4?，?ACB?6?，?BAC?180??(?ABC??ACB)?180??10?
1又?NOC??BOC??BAC?180??10?；?MOC??AOC?2?ABC?8?
2MA从而?MON?8??(180??10?)?180??2?
O?ONM?180??(?MON??OMN)?180??(180??2???)????OMN
BNC 11即?OMN为等腰三角形，ON?OM?OA?OC A22 ∵?ONC?90?，∴?NOC?60?，
又∵?NOC?180??10?，∴?OMN???12? O例3．如图O,I分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高。I在线段OD I B D C求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。
证明（1）记AB?c,BC?a,CA?b，设AI的延长线交△ABC的外接圆O于K，则OK K是圆O的半径，记为R，因为OK⊥BC，所以OK∥AD，从而
2
AIcsinB??2sinBsinC (1) IKRBA?ABI=?IBC?，?CBK=?CAK?，∠AKB=∠ACB??C，
221BBBBCAB?BI?sinsinsin2sinsinAAIS?ABIAB22?sinC?2?22 （2）∠BAK?，所以 ??2??A?BBKCACA2IKS?KBI1?BK?BI?sincossincossin222222BC2sinsin22，所以4sinAcosBcosC?1 由（1）、（2）得2sinBsinC?A222sin211设△ABC的BC边上的旁切圆半径为ra，则bcsinA?S?ABC?ra(b?c?a)。
22bcsinAsinAsinBsinC2RsinAsinBsinC?2R?所以ra? ?B?CB?CB?CB?Cb?c?asinB?sinC?sinA2sincos?2sincos2222RsinAsinBsinCABC ??4Rsincoscos?R，
B?CBC222sin?2sinsin222即△ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。 证明（2）记AB?c,BC?a,CA?b，△ABC的BC边上的旁切圆半径为ra，△ABC的BC边上的高为ha，设AIabCP，又交BC于P，交外接圆于K，连BK，OK⊥BC，OK?R，PC?，BK?IK，△AKB∽△Ab?cADAIAD?OKAKAKCP，有 ???由AD⊥BC，知OK∥AD，有，即,但△AKB∽△AOKIKOKIKBKh?Rb?caha2S?ABCAKACbb?c??????ra ，代入上式，得a，R?abBKPCaRab?c?ab?c?ab?c 即△ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。
的外 A证明（3）AB?c,BC?a,CA?b，△ABC的BC边上的旁切圆半径为ra，△ABC接半径R，作II1⊥BC于I1，OO1⊥BC于O1。
180??∠ AOCAC=?900?∠ ABC?∠ BAD ∵∠O2ADDIDI1??∴∠ DAI?∠ OAI，∴。 AOIOI1O1 O I B C D I1 O1 a?c?ba2?b2?c2(b?c)(b?c?a)a?c?bDI1?BI1?BD??c?cosB???
222a2a2S?ABCADb?c?aAD?aaa?c?bb?c?,R?AO??I1O1?BO1?BI1???∴
222， AOab?c?ab?c?ar(b?c?a)1?ra。 ra(b?c?a)，∴R?a2b?c?a证明（4）记AB?c,BC?a,CA?b，设AI的延长线交△ABC的外接圆O于K，连OK交BC于O1，则OK⊥BC，作II1⊥BC于I1，则AD∥II1∥OK，由D,I,O三点共线，
又S?ABC?DI1DIADa?c?ba2?b2?c2(b?c)(b?c?a)a?c?b?c?cosB?????∴，∵DI1?BI1?BD? 222a2aI1O1IOOK
3
aa?c?bb?cb?c?aAD ???，∴， 222aR A2S?ABCr(b?c?a)AD?a1 ??ra。故R?，又S?ABC?ra(b?c?a)，∴R?a
2b?c?ab?c?ab?c?a证明（5）连AI并延长交△ABC的外接圆O于K，设O?旁切圆圆心，则O ? 在的 AK O延长线上，连OK，过O?作O?M⊥BC于M。连OM，MK，BI，CI，O? B ，O?C， I则OK，O?M分别为外接圆半径及旁切圆半径。又B,I,C,O?四点共圆。
B C??BK?IK?CK，设K为BICO的外接圆的圆心，即IK?OK。
PKO?P K?又AP?PK?BP?PC?IP?O?P，∴，又AD∥O?M，
IPAPPKO?PMP??∴，∴MK∥ID，∠PMK=∠IDP，而D,I,O共线，OK⊥BC，O?M⊥BC，∴OK∥O?M，IPAPDP故∠IOK=∠KMO?，∠OKI=∠MO?K，IK?O?K，∴?OIK??MKO?，故OK=O?M，即R?ra I1O1?BO1?BI1?例4．设M是△ABC的AB边上作一内点，r1,r2,r分别是△AMC、△BMC、△ABC的内切圆半径；q1,q2,q分别是这些三角形在?ACM、?BCM、?ACB内的旁切圆半径．试证：
Cr1r2r??． q1q2qAMR【证明】设?CAB??,?ABC??,?BCA??,?AMC?? 又设△ABC的内切圆的圆心为R，且与AB切于P（如图），于是
PB?APR??BPR??2，
从而有：AB?rcot?2?rcot?2?r(cot?2?cot?2)
由于三角形的角的内、外平分线互相垂直，因而类似地有：
AB?qtan?2?qtan?2?q(tan?2?tan?2)
进而有：
r?qtan?22?tan?tan?；类似的结论对于△AMC和△BMC也成立，故有
??22cot?cot22?tan?r1rrr??????r?tantan和2?tantan，以上式子相乘即可得结论：1?2?． q122q222q1q2q例5．设I为△ABC的内心，其△ABC内切圆切三边BC、CA和AB于点K、L、M，过点B平行于MK的直线分别交直线LM和IK于点R和S．求证：?RIS为锐角．
【证明】为了证?RIS为锐角．由余弦定理，只要证
ARMILRI2?SI2?RS2?2RI?SIco?sRI?S0．为此我们来计算RI2?SI2?RS2。由MK∥RS，考虑△BMR及△BSK，于是
BKC?MRB??LMK?11(???C)．同理：?RMB??AML?(???A)， 224
S
111(?C??A)?(???B)，同理：?KSB??LKM?(???A) 22211?SKB??LKC?(???C)， ?KSB?(???B)
22?AcosBRBRBMBKBS2?BK。 ??由正弦定理，有，，，因此??CBSsin?RMBsin?MRBsin?KSBsin?BKSBMcos2又BI?MK，所以BI?RS．又MI?AB，所以考虑直角△IRB，△ISB，△BIM有
而?MBR????MRB??RMB?RI2?SI2?RS2?(BI2?RB2)?(IB2?BS2)?(BR?BS)2?2(BI)2?2BR?BS
注意到BK?BM，因此BR?BS?BM2．所以，RI2?SI2?RS2?2[(BI)2?(BM)2]?2(IM)2?0
下面讨论界心的两个性质．
例6．设D,E,F分别为△ABC的BC,CA,AB边上的周界中点，R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，则
（1）
S?DEFr1?；（2）S?DEF?S?ABC．
4S?ABC2R?BD?AE?p?c?【证明】设BC?a，CA?b，AB?c，2p?a?b?c，则由题设条件易知，?CD?AF?p?b
?CE?BF?p?a?由三角形面积比的性质，有，
S?AEFAE?AF(p?b)(p?c)?? S?ABCAC?ABbc同理有：
S?BFD(p?c)(p?a)S?CDE(p?a)(p?b)??； S?ABCcaS?ABCab从而：
SS?DEFSS(p?b)(p?c)(p?c)(p?a)(p?a)(p?b)??] ?1?(?AEF??BFD??CDE)?1?[bccaabS?ABCS?ABCS?ABCS?ABC?2p2?2(ab?bc?ca)p?2abc ?
abc把三角形恒等式ab?bc?ca?p2?4Rr?r2和abc?2pRr代入并整理，得，
S?DEFr?． S?ABC2R由欧拉不等式R?2r，得，S?DEF?1S?ABC． 4三、训练题
1．已知H是?ABC的垂心，且AH?BC，试求?A的度数．
2．D,E,F分别为?ABC的边BC,CA,AB上的点，且?FDE??A，?DEF??B，又设△AEF、△BDF、△CED均为锐角三角形，其垂心依次为H1,H2,H3，求证：（1）?H2DH3??FH1E；（2）?H1H2H3??DEF．
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