大大学学物物理理课课后后习习题题答答案案（（上上））
解 (1) 如图(a)所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为
x?vt?Rωt (1) y?212gt?h (2) 22R2ω2h由式(1)(2)可得 x?
g由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为
r?x2?R2?R1?2h2ω g(2) 常用草坪喷水器采用如图(b)所示的球面喷头(θ0 ＝45°)其上有大量小孔．喷头旋转时,水滴以初速度v0 从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上．则以φ角喷射的水柱射程为
R?v0sin2 g为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多,而且还不能均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题．
1-21 分析 被踢出后的足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程得到．由于水平距离x 已知,球门高度又限定了在y 方向的范围,故只需将x、y 值代入即可求出．
解 取图示坐标系Oxy,由运动方程
1x?vtcosθ, y?vtsinθ?gt2
2消去t 得轨迹方程
y?xtanθ?g22 (1?tanθ)x22v以x ＝25.0 m,v ＝20.0 m·ｓ-1 及3.44 m≥y≥0 代入后,可解得 71．11°≥θ1 ≥69．92° 27．92°≥θ2 ≥18．89°
如何理解上述角度的范围？在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示)．如果以θ＞71．11°或θ ＜18.89°踢出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门；由于球门高度的限制,
θ 角也并非能取71.11°与18.89°之间的任何值．当倾角取值为27.92°＜θ ＜69．92°时,踢出的足球将越过门缘而离
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去,这时球也不能射入球门．因此可取的角度范围只能是解中的结果．
1-22 分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /R．这样,总加速度为
a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0．因圆周长为2πR,质点所转过
的圈数自然可求得．
解 (1) 质点作圆周运动的速率为
v?ds?v0?bt dt其加速度的切向分量和法向分量分别为
d2sv2(v0?bt)2 at?2??b, an??dtRR故加速度的大小为
a?a?a?2n2tat2b2?(v0?bt)4
R其方向与切线之间的夹角为
?(v0?bt)2?anθ?arctan?arctan?? ?atRb??(2) 要使｜a｜＝b,由
1R2b2?(v0?bt)4?b可得 Rt?v0 b(3) 从t＝0 开始到t＝v0 /b 时,质点经过的路程为
2v0s?st?s0?
2b因此质点运行的圈数为
2sv0n??
2πR4πbR1-23 分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,ω＝ω(t)确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．
解 因ωR ＝v,由题意ω∝t2 得比例系数
k?ωv??2rad?s?3 所以 ω?ω(t)?2t2 22tRt则t′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为
ω?2t?2?0.5rad?s?1 α?dω?4t??2.0rad?s?2 at?αR?1.0m?s?2 dt第-12-页 共-131-页
大大学学物物理理课课后后习习题题答答案案（（上上）） 2总加速度 a?an?at?αRet?ωRena??αR?2??ω2R?2?1.01m?s?2 在2.0ｓ内该点所转过的角度
2222θ?θ0??ωdt??2t2dt?t30?5.33rad
0031-24 分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到． 解 (1) 由于θ?2?4t,则角速度ω?3dθ?12t2．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为 dt?rdω?4.80m?s?2 dtant?2s?rω2?2.30m?s?2 att?2s(2) 当at?a/2?2122,即 an?at2时,有3at2?an243?24rt??r2?12t2? 得 t3?此时刻的角位置为 θ?2?4t?3.15rad (3) 要使an?at,则有 3?24rt??r12t22123
3?24? t ＝0.55ｓ
1-25 分析 这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v1 为Ｓ′相对Ｓ 的速度,v2 为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′为相对速度,它们之间的关系为
v2?v2?v1 (如图所示),于是可得
'v2?v1?1?5.36m?s otan75
1-26 分析 这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足
α?arctanl．再由相对速度的矢量关系v?2?v2?v1,即可求出所需车速v1． h第-13-页 共-131-页
大大学学物物理理课课后后习习题题答答案案（（上上））
解 由v?2?v2?v1［图(b)］,有
1 α?arctanv?v2sinθ
v2cosθ而要使α?arctanv?v2sinθlθl?lcos?,则 1? v1?v2??sinθ?
v2cosθhh?h?1-27 分析 船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v 决定的．由于水流速度u的存在, v与船在静水中划行的速度v′之间有v＝u ＋v′(如图所示)．若要使船到达正对岸,则必须使v沿正对岸方向；在划速一定的条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值．
解 (1) 由v＝u ＋v′可知α?arcsinu,则船到达正对岸所需时间为 v?t?dd??1.05?103s vv?cosα(2) 由于v?v?cosα,在划速v′一定的条件下,只有当α＝0 时, v 最大(即v＝v′),此时,船过河时间t′＝d /v′,船到达距正对岸为l 的下游处,且有
l?ut??ud?5.0?102m v?第-14-页 共-131-页
大大学学物物理理课课后后习习题题答答案案（（上上））
1-28 分析 该问题涉及到运动的相对性．如何将已知质点相对于观察者O 的运动转换到相对于观察者O′的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系O 中一动点(x,y)变换至系O′中的点(x′,y′)．由于观察者O′相对于观察者O 作匀速运动,因此,该坐标变换是线性的．
解 取Oxy 和O′x′y′分别为观察者O 和观察者O′所在的坐标系,且使Ox 和O′x′两轴平行．在t ＝0 时,两坐标原点重合．由坐标变换得
x′＝x - v t ＝v t - v t ＝0 y′＝y ＝1/2 gt2
d2y?加速度 a?ay??g 2dt?由此可见,动点相对于系O′是在y 方向作匀变速直线运动．动点在两坐标系中加速度相同,这也正是伽利略变换的必然结果．
2-1 分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．
2-2 分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．
2-3 分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μFN．由此可算得汽车转弯的最大速率应为v＝μRg．因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑．应选(C)．
2-4 分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关．重力的切向分量(m gcos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上2的动力学方程FN?mgsinθ?m(B)．
v可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力FN也将不断增大,由此可见应选R第-15-页 共-131-页