年 级 课程标题 编稿老师 一校 四年级 李允 林卉 学 科 奥数 版 本 通用版 三角形的等积变形（二） 二校 黄楠 审核 张舒
上一讲我们学习了三角形的面积与底和高之间的关系，在这个基础上，这节课，我们再一起学习一下平行线间的等积变形。
夹在一组平行线间的等积变形：
如下图，?ACD和?BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD那么
；反之，如果S?ACD?S?BCD，则可知直线AB平行于CD。 S?ACD?S?BCD
例1 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。
分析与解：本题有两点要求：一是把四边形改成一个三角形；二是改成的三角形与原四边形面积相等。我们可以利用三角形等积变形的方法，如下图把顶点A移到CB的延长线上的点A′处，△A′BD与△ABD的面积相等，从而△A′DC的面积与原四边形ABCD的面积相等。这样就把四边形ABCD等积地改成了△A′DC。问题是A′位置的选择是依据三角形的等积变形原则。过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点。
具体做法：连接BD，过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′。连接A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积。
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例2 如图，ABCD为平行四边形，EF平行于AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。求△CDF的面积。
分析与解：连接AF、CE。
∴S△ADE＝S△ACE，S△CDF＝S△ACF。 又∵AC与EF平行，∴S△ACE＝S△ACF。 ∴ S△ADE＝S△CDF＝4（平方厘米）。
例3 如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD的边长为10厘米，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？
分析与解：
解法一 ：△BEF的面积 ＝ BE×EF÷2，梯形EFDC的面积＝（EF＋CD）×CE÷2＝BE×EF÷2＝△BEF的面积 ，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以 △DHF的面积＝△BCH的面积，进而可得阴影部分△BDF的面积＝△BCD的面积＝10×10÷2＝50（平方厘米）。
解法二：连接CF，那么CF平行于BD。
所以，阴影部分△BDF的面积＝△BCD的面积＝50（平方厘米）。
例4 三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。求图中阴影部分的面积。
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分析与解：如图，连接KF，EG，BD。设KG，EF相交于O，DE，BG相交于V。由KF∥EG∥BD，得S△KEG＝S△FGE，S△DEG＝S△BGE。设阴影部分的面积为S，则S＝ S△KGE＋ S△DEG＝ S△FGE＋ S△BGE＝ SBEFG。因为正方形BEFG的周长为14厘米，所以其边长为14÷4＝3.5（厘米）。所以S阴影＝SBEFG＝3.52＝12.25（平方厘米）。
注意：等积变形方法的最常见形式是在一组平行线内，两个三角形同底等高的情况。
例5 如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
分析与解：如图，阴影部分的面积可以“等积变形”为下图中的△GFM的面积。
已知等宽的长方形面积之比就是相对的长边之比，所以，设大长方形的长为a厘米，宽为b厘米，则有：面积为3的长方形与面积为2的长方形的公共边GH的长为
312121210a?a?a，所以，阴影部分的面积为 ×a×b＝××10＝（平方3?41?22122122121厘米）。
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（答题时间：30分钟）
1. 如图所示，正方形ABCD的面积是16平方厘米，M为AD边上的中点，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
2. 在梯形ABCD中，上底AB的长度是24厘米，梯形的高是20厘米，E是AB上任意一点，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
3. 如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行， △ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。
4. 已知梯形ABCD的面积为5，DA与EB平行，ED与AC平行，求四边形ACED的面积。 5. 已知A，B是长方形长和宽的中点，求长方形的面积是阴影部分面积的几倍。
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1. 解：连结DG，
S?ABG?S?ADG，S?ABM?S?ACM，S?ABG?S?CMG，S?AMG?S?MDG，
111S?AMG?S?ABM??S正方形，
334阴影部分的面积＝S?ABG+S?CMG?4S?AMG?2. 解：连结BD， 116。 S正方形?（平方厘米）331?24?20?240（平方厘米）。 2S?BDE?S?BCE，阴影部分的面积?S?ABD?3. 解：连结BG，AG， 11?EG?AE??EG?EB?7 221 即?EG?AB?7,EG?3.5厘米 2 4. 解：连结BD，AE， 四边形ACED的面积?S?ACD ?S?DCE，由ED与AC平行得S?DCE?S?DAE，由DA与EB平行得S?DAE?S?DAB，而S?ACD?S?BCD，故四边形ACED的面积与梯形ABCD的面积相等，为5。 5. 解：阴影部分面积是小三角形面积的3倍，故长方形面积是小三角形面积的8倍，故长方形面积是阴影部分面积的8。 3
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