最大数是2：6=2+2+2=2+2+1+1=2+1+1+1+1； 最大数是1：6=l+1+1+1+1+1。
因此，一共有10种不同的分拆方式。
为什么不按分拆中的最小数来分类呢？可
学习数学的唯一方法是做数学。 以想象到，分拆中最小整数1出现的次数最多，
如果按最小数来分类，就会使分类流于繁琐，
——哈尔莫斯 从而失去了它的意义，而分类的主要目的在于
简化问题。
枚举法
老奶奶数鸡蛋，她小心翼翼地把鸡蛋从篮
子里一个一个地往外拿，边拿边数．篮子里的
鸡蛋拿光了。有多少个鸡蛋也就数出来了。这
种最简单的计数方法就叫做枚举法。对于一组
需要计算总数的东西，如果它们的数量不太多
多，我们可以运用枚举法把它们一一列举出来，
从而求出这个总数。
例1 将一个整数分成若干个小于它的整
数之和，叫做分拆。比如4=1+1+2，4=1+3，是
两种不同的分拆。但4=l+1+2，4=1+2+1，
4=2+1+l，它们只有加数的顺序不同，应算是同
一种分拆，请问：整数6有多少种不同的分拆
方式？
分析与解1 整数6小大，可以考虑直接
运用枚举法求解。由于6=1+1+1+1+1+1，这说
明6最多拆为6个数，又6=1++5=2+4=3+3，最
少拆为两个数之和，因此我们可按分拆后整数
个数分类，除上述两类情形外，另外还有: 拆成三个数的：6=1+1+4=1+2+3=2+2+2； 拆成四个数的：6=1+1+1+3=1+1+2+2； 拆成五个数的：6=1+1+1+1+2．
可见，一共有10种不同的分拆方式。 我们在列举分拆的整数时，先写较小的数，再写较大的数，这样有规律地写，可以防止遗漏任何一种情形。
分析与解2还有一种更好的分类方法：按
分拆中的最大整数来穷举。
最大数足5: 6=5+1；
最大数是4：6=4+2=4+l+1；
最大数是3：6=3+3=3+2+1=3+1+1+1；
运用枚举法必须注意两个方面：第一，我们应初步估计总的数目不是太大。因为若需要
计算数目的情况太多时，把它们一一列举出来将是非常费时、困难的。这个时候，最好寻找
更有效的方法。第二，列举时必须保证没有重复，也没有遗漏，只有这样，方能得到正确的
结果。为了做到这一点，我们应该抓住对象特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地
列举，例如上述例1的第一种解法，我们是按分拆后整数个数分类。
对于同一个问题，如果考虑的角度不一样，分类标准不同，那么即使同样是运用枚举
法，也会产生不同的解题途径。例如，对于例l我们按分拆中的最大整数来枚举，给出了另外一种解法。 例2 如图4 -1所示，一张方格纸，每个方格的边长都是1，画好一条横线AB，一只小虫从AB上的o点出发，沿着横线与竖线爬行，上下左右都可以，但最后仍回到AB上（不一定回到0点）。如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的路线？ 分析与解 (1)先来解答总长是2的简 单情况，这时虫的路线有6条： 图4-1 先向上后向下；先向下后向上；先向左后向右；先向右后向左；先向左再向左；先向右再向右。（以上前4种路线均回到D点） (2)如果总长是3，那么小虫的路线可分为 4种： (3)一行（列）含面数最多为2时，仅有图4-10
①先向左走一步，那么转化为一种情形。(l)，虫的路 线有6条；
②先向右走一步，也有6条路线； ③先向上走一步然后有4条路线，即右下，左下，下右，下左；
④先向下走一步也有4条路线。
因此，共有6+6+4+4=20（条）路线。
例3 有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，如图4-2即为一种形式，问：有多少种不同形式的展开图？ 图4-2 分析与解 纸箱共有五个面，展开后的图形的行（列）所含面数最多不会有5个面，当然也不可能仅含1个面。 (1)含面数最多的行（列）有4个面的情形，注意到对称性，仅有图4-3，4-4两种情形。
(2)含面数最多的行（列）有3个面的情形，可分两类：
①剩下的两个面位于面数最多的行（列）的同侧时，有图4-5，4-6两种不同的情形。
②剩下的两个面位于面数最多的行（列)的异侧时，有图4-74-8,4-9三种不同情形。
根据上述各种情形，知道共有8种不同的展开形式 对所给的问题酌情画出图表分析是非常有益
的。下面介绍的树形图是枚举时常常采用的一种图示的方式。它形象直观，非常有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。
例4 一个学生暑假在A，B，C三个城市游览。
他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假
设他第一天在A市，第五天又回到A市，问：他有几种不同的游览方案？ 分析与解这个学生在一个城市逗留一天后
就要转移到另一个城市，因此，在游览方案中，第二天可能是B市或C市，第三天可能是A市或B市，?如此考虑问题，也许会把我们自己
给弄糊涂了，右面的4-11，犹如一棵倒立的树，它很清楚地表明了我们的推理过程。
图4 -11称为树形图，图中从上至下每一条路径都表示一个游览方案，比如最右边一条路径A-C-B-C-A就表示第二天在C市，第三天在B市，第四天在C市，第五天回到A市的路线。从图4-11中还可以看到，第四天在A市的情形是不合要求的（因为第五天必须 在A市，同一城市不允许连续逗留两天）。数一数最后一行中，A的个数，便知不同的游览方案有6种。如果我们还要求三个城市必须都到过，那么有两个方案（A-B-A-B-A，A-C-A-C-A）不合要求，此时仅有4个不同的方案。
例5甲、乙两人进行围棋比赛，规定先胜不同情形，由于a1来说，取2，3，4或5是等四盘者胜，第一、二盘甲胜，第三盘乙胜，请可能性的，因此当a1=3，4，5时同样各有11问：到决出最后胜负为止，可能有几种情形？种情形。这样一共有11×4=44种不同可能情其中甲胜的情形有几种？ 形。利用等可能性，选a1为起点，并进而仅研
分析与解 如同上例，对这种分步进行的问题可采究a1=2的情形，这样的处理，大大减少了问题用树形图列举．用“甲”表示甲胜，“乙”表示乙胜。的复杂程度，避免了许多类似的列举，也有利由于第三盘以后，甲只要再胜两盘或乙再胜三盘，比赛于避免重复与遗漏。 至多进行七盘就能决出胜负，所以表示各种战况的树形 图如图4-12。
图4-12中从上至下每一条路径表示一种可能战况，比如最左边的“甲一甲”表示在第四、第五两盘中甲连胜，而“乙一甲一乙一乙”表示的是乙胜的一种情形。从图4-12中可看出一共有10种不同的可能情形，其中甲胜的有6种。 例6小马虎给五位朋友写信，由于粗心，在把信装入信封时他给弄错了，结果，五位朋友都没有收到小马虎写给他的信，而是收到他写给别的朋友的信，请问：一共有多少种可能情形？ 分析与解用编号l，2，3，4，5表示五位朋友应该收到的信，用a1， a2，a3, a4, a5表示他们实际收到的信的编号，于是问题中要求a1≠l，a2≠2,a3≠3,a4≠4,a5≠5。 我们选a1作突破口，因为a1≠l，a1只可能是2，3，4或5。当a1=2时，作树形图，如图4-13。
数一数最后一行数字的个数，即知有11种
习题：
1．有四张卡片，上面分别写有1，2，4，0四个数字，从中任意拍出三张卡片组成三位数，这些卡片可组成____个不同的三位数。 2．a．b，c，d四本不同的书放人一个书包，至少放1本，最多放2本，共有____种不同的放法。 3．从3，13，17，29，3l这五个自然数中，每次取两个数分别作一个分数的分子和分母，一共可以组成____个最简分数。 4．图4-14中____一个三角形，有____条线段。
5．图4-15中共有____条线段。
6．图4-16中共有 个梯形。
次序？
7．口袋中有纸币7张：2张1元、2张5元、2张10元、l张50元，每次取出2张，记下它们钱数的和，然后放回口袋中，如此反复。那么共有____种不同的钱数。
8.甲、乙两人比赛乒乓球，先胜三局的人算赢。直到决出胜负为止，共有____种可能发生的情况。 13．图4-18长方形的边每隔l米有一个点， 共10个点，以这些点为顶点的三角形中，面积 为3平方米的有多少个？
9．一个人在三个城市A、B、C中游览．他 今天在这个城市，明天就必须到另一个城市， 这个人从A城出发，4天后还回到A城，那么 这个人有____种旅游路线。 14．下面五个图形都具有两个特点：(1)由
10.三个人互换帽子，要使每个人都戴别人四个连在一起的同样大小的正方形组成；(2)每的帽子，共有____种换法。 个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共 边，我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄 罗斯方块”．
11.有0，1，4，7，95张数字卡片，从中取出4张 排成四位数，把其中能被3整除的数按从小到大的顺序 如果把某个俄罗斯方块在平面上旋转后，排列起来，那么第三个数是____。 它与另一个俄罗斯方块相同（比如上图中的B 与E），那么这两个俄罗斯方块只算一种， 除这 四种外，还有好几种俄罗斯方块，请你把这几 种都画出来。
12．一次射击比赛中，5个泥制的靶子挂成3列（如图4 -17），一射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未被击碎的靶子中最低的一个。若每次都遵循这一原则，击碎5个靶子可以有多少种不同的