2016-2017学年高中数学 第三章 统计案例 课时作业17 回归分析
的基本思想及其初步应用 新人教A版选修2-3
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．有下列说法：
①残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ②用相关指数R来刻画回归的效果，R值越大，说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
2
2
解析： 对于①，正确，并且带状区域宽度越窄，说明拟合的精度越高，回归方程的预报精度越高．对于②③，R越大，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故②③正确．
答案： D
2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 销售额y(万元) ∧∧∧∧2
4 49 2 26 3 39 5 54 根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
A．63.6万元 C．67.7万元
B．65.5万元 D．72.0万元
4＋2＋3＋5749＋26＋39＋54?7?解析： 由表可计算x＝＝，y＝＝42，因为点?，42?在
424?2?
∧
7∧
回归直线y＝bx＋a上，且b为9.4，所以42＝9.4×＋a，解得a＝9.1，
2
∧
∧
∧
∧
∧
∧
故回归方程为y＝9.4x＋9.1，令x＝6得y＝65.5，故选B. 答案： B
∧
3．工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归方程y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是( )
①劳动生产率为1 000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元；
1
③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元． A．1 C．3
B．2 D．4
解析： 代入方程计算可判断①②④正确． 答案： C
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平
n∧
2
方和? (yi－yi)如下表：
i＝1
散点图 甲 乙 丙 丁 残差平方和 115 106 124 103 哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高( ) A．甲 C．丙
B．乙 D．丁
解析： 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方
n和越小(对于已经获取的样本数据，R表达式中? (yi－y)为确定的数，则残差平方和越
2
2
i＝1
小，R越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．故选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
解析： 由相关指数R的意义可知，R≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
答案： 85% 15%
∧
2
2
2
2
6．若施肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的回归直线方程为y＝250＋4x，当施肥量为50 kg时，预计小麦产量为________．
2
∧∧
解析： 把x＝50代入y＝250＋4x，可求得y＝450. 答案： 450 kg
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 销量y(件) ∧∧∧8 90 8.2 84 ∧8.4 83 ∧8.6 80 ∧8.8 75 9 68 (1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
1
解析： (1)因为x＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
6
y＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
∧
16
从而a＝y＋20x＝80＋20×8.5＝250，
∧
故y＝－20x＋250.
?33?22
(2)由题意知，工厂获得利润z＝(x－4)y＝－20x＋330x－1 000＝－20?x－?＋
4??
361.25，
33
所以当x＝＝8.25时，zmax＝361.25(元)．
4
即当该产品的单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
8．某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据关系：
x/百万元 y/百万元 (1)画出散点图； (2)求线性回归方程；
2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 (3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？ 解析： (1)散点图如图所示：
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
3
i xi yi xiyi x2i 1 2 30 60 4 2 4 40 160 16 3 5 60 300 25 4 6 50 300 36 5 8 70 560 64 合计 25 250 1 380 145 55
252502
所以，x＝＝5，y＝＝50，?xi＝145，?xiyi＝1 380.
55i＝1i＝1
5
?xiyi－5x y∧
i＝1
于是可得b＝
5
1 380－5×5×50
＝＝6.5， 2
145－5×5
2
i－5x?x2i＝1
∧∧
a＝y－bx＝50－6.5×5＝17.5.
∧
所以所求的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5.
(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，
∧
y＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，
即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．
9．(10分)假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：
使用年限x 维修费用y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 若由资料知，y对x呈线性相关关系． ∧
∧
∧
∧
∧
试求：(1)线性回归方程y＝bx＋a中的a，b的值； (2)求残差平方和； (3)求相关指数R；
(4)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解析： y对x呈线性相关关系，转化为一元线性相关的方法，根据公式分别计算． (1)由已知数据制成下表：
2
i xi yi
1 2 2.2 2 3 3.8 3 4 5.5 4 5 6.5 5 6 7.0 合计 20 25 4
xiyi x2i 5
2
4.4 4 5
11.4 9 22 16 32.5 25 42 36 112.3 90 x＝4；y＝5；?xi＝90；?xiyi＝112.3
i＝1
i＝1
112.3－5×4×5
于是有b＝＝1.23，
90－5×4×4
∧
∧
∧
a＝y－bx＝5－1.23×4＝0.08，
∧
∴y＝1.23x＋0.08.
∧
(2)求公式y1＝1.23×2＋0.08＝2.54
∧
y2＝1.23×3＋0.08＝3.77，
∧
y3＝1.23×4＋0.08＝5，
∧
y4＝1.23×5＋0.08＝6.23，
∧
y5＝1.23×6＋0.08＝7.46，
∧
e1＝2.2－2.54＝－0.34，
∧
e2＝3.8－3.77＝0.03，
∧
e3＝5.5－5＝0.5，
∧
e4＝6.5－6.23＝0.27，
∧
e5＝7.0－7.46＝－0.46.
∴残差平方和为：
(－0.34)＋0.03＋0.5＋0.27＋(－0.46)＝0.651. (3)R＝1－
2
2
2
2
2
2
0.651
2222≈0.958 7.
?－2.8?＋?－1.2?＋0.5＋1.5＋2
2∧
∧
(4)回归方程y＝1.23x＋0.08，当x＝10年时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元.
5