竞赛试题选讲之 立体几何
一、选择题部分
1. （2006吉林预赛）正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为 （ C ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3 2、（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体ABCD?AP为棱AB上一点，1BC11D1中，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成30角，则这样的直线
0l的条数为 ( B )
A. 1 B .2 C. 3 D .4
3．(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式
A．有最大值而无最小值 C．既有最大值又有最小值，两者不等
111??（ ） PQPRPSB．有最小值而无最大值
D．是一个与面QPS无关的常数
解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=
△PQR
1S311(PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则321111d1vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=?PQ·PRsinα
333332d1d1+?PS·PRsinα+?PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，3232·h=即
111sin????=常数。故选D。 PQPRPSd4．（2006年江苏）过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD?A1BC11D1的12条棱所在直线成等角的直线共有（ C ）
?A?0条
?B?1条
?C?4条
?D?无数多条
5.（2006天津）已知P为四面体S?ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是
（A）圆或椭圆 （B）椭圆或双曲线 （C）双曲线或抛物线 （D）抛物线或椭圆 （ D ） 6．（2006年南昌市）四棱锥P?ABCD的底面ABCD是单位正方形(A,B,C,D按反时针方向排列),侧棱PB垂直于底面,且PB＝3,记?APD??,则sin?＝ ( C )
A.
2 2
B.
3 3
C.
5 5
D.
6 6
7．(2005年浙江)正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是： ( B ) (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5)
【 解 】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。
? 选 【 B 】
8．(2005全国)如图，ABCD?A?B?C?D?为正方体。任作平面?与对角线AC?垂直，使得?与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（ ）
A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值
解：将正方体切去两个正三棱锥A?A?BD与C??D?B?C后，得到一个以平行平面
A?BD与D?B?C为上、下底面的几何体V，V的每个
侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A?B?剪开，展平在一张平面上，得到一个
A?B?B1A1，而多边形W的周界展开后便成为一
条与A?A1平行的线段（如图中E?E1），显然E?E1?A?A1，故l为定值。
当E?位于A?B?中点时，多边形W为正六边形，而当E?移至A?处时，W为正三角形，
易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为
3232 l与l，故S不为定值。选B。
24369.（2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ C ） (A) 2006 (B) 1003 (C) 1003?1003 (D) 1003?1002.
解： 正2n边形A1A2?A2n，对角线共有
2221?2n?(2n?3)?n(2n?3)条。 2计算与一边A1A2平行的对角线条数，因A1A2//An?1An?2，与A1A2平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C。 10．（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有 120 条。
解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共
2C24?12?23?276，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条.原立方体
的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连
5?8?20条，6个面共120条2
都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部。 二、填空题部分
1.（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s,则s的最大值为__
12_. 2、（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 44?31? ． 33．（2006年上海）在△ABC中，已知?A?30?,?B?105?，过边AC上一点D作直线DE，
?CD?与边AB或者BC相交于点E，使得?CDE?60?，且DE将△ABC的面积两等分，则???
AC??3 ． 64．（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，
2n平方米，p平方米，则它的体积为 立方米．
s24(m?n?p)(m?n?p)(p?m?n)(n?p?m)
5、（2006陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为R1，能包容此框架的最小球的半径为
R2，则
R13等于
3R26．（2006年江苏）长方体ABCD?A1BC11D1中，已知AB1?4，AD1?3，则对角线AC1的取值范围是 ?4,5? ．
7. (2005全国)如图，四面体DABC的体积为
1AC?3,，且满足?ACB?45?,AD?BC?62则CD?3.
111AD?(?BC?AC?sin45?)?VDABC?, 326解：?即AD?BC?AC2?1.又3?AD?BC?AC2AC2?3AD?BC?AC2?3,
第7题图
等号当且仅当AD?BC??1时成立，这时AB?1,AD?面ABC，?DC?3.
8、（2004 全国）如图、正方体ABCD?A1BC11D1中，二面角A?BD1?A1的度数是____________。
解：连结D1C,作CE?BD1，垂足为E，延长CE交A1B于F，则FE?BD1，连结AE，由对称性知AE?BD1,??FEA是二面角A?BD1?A1的平面角。连结AC，设AB=1，则AC?AD1?2,BD1?3.
在Rt?ABD?AD121中，AE?ABBD?3， 1在222224?2?AEC中,cos?AEC?AE?CE?AC2AE?CE?2AE?AC2AE2?314??。23??AEC?1200,而?FEA是?AEC的补角，??FEA?600。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
D1C1A1B1FEDCAB