利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广，表现形式灵活，已成为中考的热点，也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意，但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等几何变换，将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1——垂线段最短，或模型2——两点之间线段最短来求解.下面就不同情形举例分析. 一、求两动点到一定点距离和的最小值
此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换 至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
例1如图1，菱形ABCD的边长为4，?B?60?. E为BC上的一动点，F为AB上的一动点，P为AC上一个定点，则PE?PF的最小值为 .
解析 如图2，根据菱形的对称性作点F关于AC的对称点F1，连结PF1，则有
PE?PF?PE?PF1.所以，当点E、P、F1三点共线且垂直BC时PE?PF最小.作
AG?BC点G，所以PE?PF的最小值即为AG为长.因为菱形ABCD的边长为4, ?B?60?，所以BE?2，AG?23，从而PE?PF的最小值为23. 二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值
此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关于两动点所在定直线的对称点，使两动点在两对称点的折线段上，利用模型2求解.
?AOB?45?，P是?AOB内一点，PO?10，Q、R分别是OA和OB 例2 如图3，
上的动点，求VPQR周长的最小值.
解析 如图4，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，则，当Q、R在线段CD上时，VPQR周长最小.因为PR?PQ?RQ?CD?COD?2?AOB?90，?OC?OD?OP?10，所以CD?2OC?102，则VPQR
周长的最小值为102.
三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值
此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然后仿上述例1解法求解.
例3 如图5，在平面角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA?3，OB?4，D为边OB的中点.
若E、F为边OA上的两个动点，且EF?2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、
F的坐标.
解析 如图6，作点D关于x轴的对称点D1，则OD1?OD?OB?2，D1(0,?2) 2 将点C向左平移2个单位(EF?2)到C1点，定点D、C分别到动点E、F的距离和等于为定点D1、C1到动点E的距离和，即DE?CF?D1E?C1E，从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”即模型2的类型.
连结D1C1交x轴于点E，四边形EFCC1为平行四边形，此时则四边形CDEF的周长最小.由D(0,?2)、C1(1,4)DE?CF?D1E?C1E?DC11值最小，
可求直线D1C1解析式为y?6x?2.当y?0时，x? 四、求两动点到另一动点距离和的最小值
117，即E(,0)，则F(,0). 333 一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
例4 如图7，菱形ABCD中AB?3，?A?60?，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，求PE?PF的最小值.
解析 如图8，与上例类似，仍然要作某一动点(P)所在直线(CD)同侧的两个动点(E、
F)中的一个对称变换至直线的另一侧，不妨选F，但考虑到F是圆上动点，因此作菱形
ABCD和⊙B的对称图形A1B1CD和⊙B1.
根据题意和菱形以及轴对称图形的性质，可知A、D、B1三点共线，PF?PF1.
欲求PE?PF的最小值，即求PE?PF所以当PA?PB1最小时，PE?PF11的最小值，的最小值为:
PA?PB1?AE?BF1?PA?PB1?3
显然，点P运动到D时，PA?PB1最小值为6，所以PE?PF的最小值是3. 五、求三动点构成的三角形周长的最小值
三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用
模型1，设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2求解. 例5 如图9，在平面直角坐标系中，已知A(0,2)，B(?3,0)，C(1,0).
C重合)， 点P是线段BC上的动点(点P不与B、点Q是线段AB上动点(点Q不与A、B重合)，点R是线段AC上动点(点R不与A、C重合)，求VPQR周长的最小值. AB于G，作P关于AC的对称点 解析 如图10，不妨作P关于AB的对称点P1，交
P2，交AC于H，连结PQ2R、AP1、P1、AP2.
由对称性可知:
lVPQR?PQ1?QR?P2R,
R、PR分别为PPAB、AC的 当lVPQR最小时，P12与边1、Q、2四点共线，即Q、
交点，lVPQR的最小值为PP12. 由对称性可知
AP??PAB，?P2AC??PAC, 1?AP?AP2，?PAB1 所以?PPP12?2?BAC.
所以PP12?2AP1?sin?BAC?2AP?sin?BAC (作等腰三角形底边的高，根据三线合一可得).
从条件不难发现?BAC为定值，根据模型1(垂线段最短)，当AP?BC(点即P运动 到点O)时，AP最小，从而PP12最小.
又根据条件，不难求出
AP?2，PC?1，BP?3，AB?13，AC?5, QSVABC?11AB?AC?sin?BAC?BC?AP, 22?sin?BAC?865, 658653265. ?65653265. 65?PP12?2?2?即lVPQR最小值为：
六、求三动点到一定点距离和的最小值
解决此类问题一般是应用旋转变换，将交于同一点的三条线段改变位置，等量转换为两定点之间的折线之和，然后利用模型1求解.
例6 如图11，四边形ABCD是边长为2的正方形，M为对角线BD上任意一点，当
M在何处时，AM?BM?CM最小，并求出最小值.
解析 如图12，将VABM绕点B逆时针旋转60?得到VEBN，连结MN，由旋转性质得EN?AM，BN?BM，VBMN为等边三角形，所以MN?BM，此时
AM?BM?CM转化为折线EN?NM?CM.根据模型2, C、M、N、E四点共线时，
AM?BM?CM最小，等于CE，所以M位于BD与CE的交点处.
过点E作BC的垂线交CB的延长线于点F.由题意得?EBF?30?，所以EF?1，
FB?3.从而
CE?EF2?CF2?12?(2?3)2 ?8?43?2?6. 即AM?BM?CM最小值是2?6.