学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 坐标系与参数方程 知识点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
?x????x设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?:??y????y(??0)(??0)的作用下,点
P(x,y)对应到点P?(x?,y?),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示
,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,
叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角?xOM叫做点M的极角,记为?.有序数对(?,?)叫做点M的极坐标,记作M(?,?).
一般地,不作特殊说明时,我们认为??0,?可取任意实数.
特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, ?)(?∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定??0,0???2?,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(?,?)表示;同时,极坐标(?,?)表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
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(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是
(?,?)(??0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M 直角坐标(x,y) 极坐标(?,?) 互化公式 ?x??cos? ?y??sin???2?x2?y2 ytan??(x?0)x 在一般情况下,由tan?确定角时,可根据点M所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 圆心为(r,0),半径为r的圆 圆心为(r, ??r(0???2?) ??2rcos?(??2????2) ?2),半 ?2rsin?(0????) 径为r的圆 (1)过极点,倾斜角为???(??R)或?????(??R) (2)???(??0)和?????(??0) ?的直线
学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ?cos??a(??2????2) 过点(a,?2),与极?sin??a(0????) 轴平行的直线
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(?,?),(?,2???),(??,???),(??,????),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程???,点M(??,)可以表示为44?????5???(,?2?)或(,?2?)或(-,)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方
44444444程???. 二、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
?x?f(t)①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,??y?g(t)那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x?f(t),把它代入普通方程,求
学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 出另一个变数与参数的关系y?g(t),那么??x?f(t)就是曲线的参数方程,在参数方程与
?y?g(t)普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速
?x?rcos?(?为参数)。 圆周运动，设M(x,y)，则?y?rsin??这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中?的几何意义是OM0转过的角度。 圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x?a)?(y?b)?r，
222?x?a?rcos?(?为参数)。 它的参数方程为：?y?b?rsin??4．椭圆的参数方程
x2y2以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0),其参数方
ab?x?acos?(?为参数)，其中参数?称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是程为?y?bsin???x?bcos?y2x2(?为参数),其中参数?仍为离心角，通??1(a?b?0),其参数方程为?22ab?y?asin?常规定参数?的范围为?∈[0，2?）。
注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角?区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2?的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0????2时，相应地也有
0????2，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
x2y2以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为2?2?1(a?0,b?0),其参
ab
学而通 黄冈教育 教师： 赵映雄 学生： 数方程为??x?asec??3?(?为参数)，其中??[0,2?)且??,??.
22?y?btan?y2x2焦点在y轴上的双曲线的标准方程是2?2?1(a?0,b?0),其参数方程为
ab?x?bcot?(?为参数，其中??(0,2?)e且???.以上参数?都是双曲线上任意一点的??y?acsc?离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y?2px(p?0)的参数方程为
2?x?2pt2(t为参数). ??y?2pt7．直线的参数方程
经过点M0(x0,y0)，倾斜角为?(???2)的直线l的普通方程是y?y0?tan?(x?x0),而过
?x?x0?tcos?M0(x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程为?(t为参数)。
?y?y0?tsin?注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M0(x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程
?x?x0?tcos?为?(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任一点M(x,y)为
y?y?tsin?0????????终点的有向线段M0M的数量，当点M在M0上方时，t＞0；当点M在M0下方时，t＜
0；当点M与M0重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
选修4-4
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A组]
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B组] 数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C组]