北京市宣武区2018-2019学年度第二学期第二次质量检测
高 三 数 学（理科） 2018.5
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分， 考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1. 集合A??xA． 1个
5?1??2x?1?4,x?Z?的元素个数有（ ） ?2?B． 2个
C．3个
D．无数个
2. 若?3x?1??a5x5?a4x4?????a1x?a0，则a2的值为（ ） A．270
B．270x
02C． 90
129D．90x
23. 若a,4,3a为等差数列的连续三项，则a?a?a?????a的值为（ ） A． 1023
B．1025
C．1062
D． 2047
4. 已知直线m、n与平面?、?，下列命题正确的是 （ ）
A．m//?,n//?且?//?，则m//n
B．m??,n//?且???，则m?n
C．????m,n?m且???，则n?? D．m??,n??且???，则m?n 5.已知命题(1)?
??R，使sin?cos??1成立；(2) ? ??R，使
tan??tan?成立；
1?tan?tan?tan??????tan??tan? 成立；(3) ??，??R，有tan??????(4)若A,B是?ABC的内角，则“A?B” 的充要条件是“sinA?sinB”．其中正确命题
的个数是 （ ） A． 1
B． 2
C． 3
D．4
6.已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（ ） A． f?x??x?lnx B． f?x??x?lnx
22C．f?x??x?lnx D．f?x??x?lnx
7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为S??1，2，3，4，5，6?.令事件A??2,3,5?,事件B??1，2，4，5，6?，则PAB的值为（ ） A．
??1 23 5B． C．
2 52D．
1 5p?p2?228. 如图抛物线C1： y?2px和圆C2: ?x???y?，其中
24??p?0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A,B,C,D四点，
则AB?CD的值为 （ ）
p2A．
4p2B．
3p2C．
2D．p2
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 函数y?sinxcos(x??4)?cosxsin(x?23?4)的值域是 .
8D10. 若i是虚数单位，则i?2i?3i?????8i= . 11.如图，A,B,C,D为空间四点,△ABC是等腰三角形，且
ABE ?ACB?90o ,?ADB是等边三角形.
则AB与CD所成角的大小为 .
12. 如图，PA与圆O相切于A，不过圆心O的割线PCB与
0直径AE相交于D点.已知∠BPA=30，AD?2，PC?1，
COC P
A D B
则圆O的半径等于 ．
13.数列a1,a2,???,a7中，恰好有5个a，2个b?a?b?， 则不相同的数列共有 个.
14. 以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题： ①?cos??1与曲线x?y?y无公共点；
22
②极坐标为 (32，
3?)的点P所对应的复数是-3+3i； 4③圆??2sin?的圆心到直线2?cos???sin??1?0的距离是5；
5?④?????0?与曲线
4(1212.
,)55?x?3co?s??y?4si?n?为参数，0????相交于点P,则点P坐标是
其中假命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船. （Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA成?角， 求f?x??sin2?sinx?cos2?cosx?x?R?的值域.
16. （本小题共13分）
?C 10 B
?
北
?A 20 已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的表面积；
（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为ABCD?A1B1C1D1，其中A1B1BA为正方形. （i）求证：A1B?平面AB1C1D；
（ii）设点P为棱A1D1上一点，求直线AP与平面AB1C1D所成角的正弦值的取值范围.
17. （本小题共13分）
在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；
(Ⅱ)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生
☆
所得分数的分布列. 18. （本小题共13分）
设?an?是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n,有2Sn?an?1． (I) 求a1，a2的值；
(II) 求数列?an?的通项公式；
（III）令b1?1，b2k?a2k?1?(?1)k，b2k?1?a2k?3k（k?1,2,3,???），求数列?bn?的前2n?1 项和T2n?1． 19. （本小题共14分） 已知函数f?x??lnx. x（I）判断函数f?x?的单调性；
1的图像总在直线y?a的上方，求实数a的取值范围； x1m2（Ⅲ）若函数f?x?与g?x??x??的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实
6x3（Ⅱ）若y?xf?x?+数m的值.
20.（本小题共14分） 已知p?0，动点M到定点F?p?p?,0?的距离比M到定直线l:x??p的距离小.
2?2?（I）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A,B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，OA?OB?0,求?AOB面积的最小值； （Ⅲ）在轨迹C上是否存在两点P,Q关于直线m:y?k?x?直线m 的方程，若不存在，说明理由.
??p???k?0?对称？若存在，求出2?北京市宣武区2018-2019学年度第二学期第二次质量检测
高三数学（理）参考答案及评分标准
2018.5
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.
题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 C 8 A 二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分.
题号 答案 9 10 11 12 7 13 14 ??1，1? 4?4i 90o 21 ③ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得BC=20+10－2×20×10COS120°=700.
2
2
2∴
BC=107. ……………………………………5分
（Ⅱ）∵
sin?sin120?3?， ∴sin? = 207107∵?是锐角，∴cos??4 7345f?x??sin2?sinx?cos2?cosx=sinx?cosx?sin?x???
777∴
f?x?的值域为
?5??7,?5?. ……………………………………13分 7??16. （本题满分13分）