全国名校高中数学二轮复习优质专题汇编（附详解）
函数、导数——存在与恒成立问题（文科）
一、（优质试题四川春季高三诊断性考试）
已知函数f?x???ax?2?ex?e?a?2?. （1）讨论f?x?的单调性；
（2）当x?1时，f?x??0，求a的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）?1，???． 【解析】（1）f??x???ax?2?a?ex，
当a?0时，f??x???2ex?0，∴f?x?在R上单调递减． 当a?0时，令f??x??0，得x?2?a，令f??x??0，得x?2?a，
aa2?a??2?a?∴f?x?的单调递减区间为?，单调递增区间为??，，??????，
?a??a?当a?0时，令f??x??0，得x?2?a，令f??x??0，得x?2?a，
aa2?a2?a???∴f?x?的单调递减区间为?，单调递增区间为，????，????．
?a??a?（2）当a?0时，f?x?在?1，???上单调递减，∴f?x??f?1??0，不合题意． 当a?0时，f?2???2a?2?e2?e?a?2??a?2e2?e??2e2?2e?0，不合题意， 当a?1时，f??x???ax?2?a?ex?0，f?x?在?1，???上单调递增， ∴f?x??f?1??0，故a?1满足题意．
2?a??2?a?当0?a?1时，f?x?在?上单调递减，在1，，??????单调递增，
?a??a?∴f?x?min??2?a?f???f?1??0，故0?a?1不满足题意． a??综上，a的取值范围为?1，???．
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二、(优质试题江西高三六校联
已知函数f?x??aln x,g?x??x2?a?R?.
（1）令h?x??f?x??g?x?，试讨论h?x?的单调性； （2）若对?x??2,???，f?x??g?x?ex恒成立,求a的取值范围.
【答案】(1)当a?0时，h?x?在?0,???单调递减，无增区间；当a?0时，
??2a?4e22a?h?x?在??0,2??上单调递增，在??2,????上单调递减；(2)a?ln 2. ????a?2x2(x?0)， 【解析】（1）由h?x??f?x??g?x??aln x?x，得h??x??x2当a?0时，h??x??0恒成立，则h?x?在?0,???单调递减；
?2a??2a??2?x?x????22???， 当a?0时，h??x???x?2a??hx?0,得x?0,,h?x?单调递增， 令??????2??令h??x??0，得x????2a?,???,h?x?单调递减， ??2?综上：当a?0时，h?x?在?0,???单调递减，无增区间； 当a?0时，h?x?在??0,???2a?2a?上单调递增在,??上单调递减． ，??????2??2?（2）由条件可知aln x?x2ex对?x??2,???恒成立， 则当a?0时，aln x?x2ex对?x??2,???恒成立，
x2ex当a?0时，由aln x?xe得a?（x?2）.
ln x2xxex??x?2?lnx?1?x2ex???令??x???x?2?，则??x??2ln x?lnx?，
因为x?2，所以???x??0，即??x?在?2,???上单调递增，
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4e24e2所以??x????2?=，从而可知0?a?．
ln2ln 24e2综上所述，所求a?．
ln2三、(优质试题百校联盟高三3月联
已知函数f?x??1?1?2x，x?1为函数g?x??x?lnx?c?的极值点.
（1）证明：当x?1时，g?x??x2?2x；
（2）对于任意m?1，都存在n??0,???，使得nf?m??g?n??n，求n?m的最小
2值.
【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】（1）g?x??x?ln x?c?，∴g??x??1?ln x?c， 又∵x?1为极值点，1?ln 1?c?0，∴c?1， 经检验c?1符合题意，所以c?1，
当x?1时，g?x??x2?2x，可转化为当x?1时，ln x?x?1?0恒成立， 设t?x??lnx?x?1，所以t??x??1?1?1?x，
xx当x?1时，t??x??0，所以t?x?在?1，???上为减函数，所以t?x??t?1??0， 故当x?1时，g?x??x2?2x成立. （2）令
g?n?f?m???1?ln n?k，则k?1?1?2m，
n21?k解得m?1????k?1k2，
222同理，由k?ln n，可得n?ek， 因为k?1?1?2m????,1?，又k?ln n?R，所以k????,1?，
2令h?k??n?m?ek?k?1k2?k?1?，
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则h??k??ek?1?k，易知h??0??0，
当k?0时，h??k??0，当0?k?1时，h??k??0，
即当k?0时，h?k?是减函数，当0?k?1时，h?k?是增函数， 所以h?k?的最小值为h?0??1，即n?m的最小值为1.