课题：正弦函数、余弦函数的周期性
教材：普通高中课程标准实验教科书人教版A版必修四
一、教学目标
根据《普通高中新课程标准》的要求和教学内容的结构特征，结合学生的认知水平，
制定本节课的教学目标如下： （一）知识与技能
理解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。 (二)过程与方法
从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析与y=sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念。运用数形结合方法研究正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx的周期，再运用归纳推理的方法探究出y?Asin(?x??)的周期，最后运用正弦、余弦函数的周期去解决问题。 (三)情感、态度与价值观
让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。
二、教学重点和难点
重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性。 难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期。
三、教学方法与手段
1.教学方法:引导发现法、探索讨论法
引导发现法、探索讨论法 ：为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生
思维发展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程。
2.学法指导: 问题探究法
根据新课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”新理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法。
3.教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。
四、教学过程
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教学程序 创 设 问 题 情 境 构 建 周 期 函 数 定 义
教学内容 生活中的周期现象 ： ① 今天是星期三,一周后的今天是星期几?两周后今天是星期几?三周后呢? ②地球不停地绕日公转，一圈又一圈. 数学中有哪些周期现象？ 回顾正弦函数y=sinx图象 y y设计意图 从实际问题引入，使学生了解数学来源于生活。 问题的提出为学生的思维提供强大动力，激发学生的探究欲望. 通过对正弦函数y=sinx图象观察、分析，结合诱导公式，由生活中的周期现象到数学中的周期现象，由具体到抽象，构建出周期函数的定义，这样设计主要是立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力,并进一步渗透数形结合思想方法. x ?2?0O ?22?5?23? 观察正弦函数y=sinx图象特征可知： 在区间?0,2??、?2?,4??、?4?,6??…内重复。 我们将上面的函数y=sinx称为周期函数。 由三角函数图象和诱导公式可得：sin(2π+x)=sinx, 若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x) 抽象概括： 一般地，对于函数f（x），对定义域内的每一个x的值，每增加或减少一个不为零的定值T，函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即f(x+T)= f(x)。 周期函数及周期的定义 周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 前面函数y=sinx的周期可以认为是2?、4?、6?、…… 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期. 最小正周期的概念. 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期. 上面的函数y=sinx的最小正周期为2?. 2
构 建 周 期 函 数 定 义 判断题： 1．因为sin(???)?sin?,所以?是y?sinx的周期. 42422.周期函数的周期唯一. 3.常数函数f(x)=5是周期函数. 小结： 1. 周期的定义是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足：f(x?T)?f(x)，不能说T是y?f(x)的周期。 2.周期函数的周期不唯一。 3.周期函数不一定存在最小正周期。 4．今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 设计判断题，训练后再进行小结主要是为了帮助学生正确理解周期函数概念，防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质。 探 究 余 弦 函 数 的 周 期 应 用 讨论： 充分体现学生的活动就必余弦函数y=cosx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，须给学生一定的思考时间和思考空间，教师不应先入为主。 使cos(T+x)= cosx成立？若是，请找出它的周期，若不是， 让学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，不断完请说明理由。 善自己的认知结构，充分感受成分四人一组进行讨论,再由学生发表看法. 功与失败的情感体验。 例1．求下列函数的最小正周期T. （1）f(x)?3sinx，x?R； （2）f(x)?sin2x，x?R； （3）f(x)?2sin(1?x?)，x?R； 24方法：①周期函数定义 ②函数图象观察得到周期 设计例1使学生加深对定义的理解，培养学生的数形结合能力。 3
探 究 函 数 周 期 的 求 法 问题：以上函数的周期与哪一个量有关？ 讨论： 函数f(x)?Asin(?x??)（其中A,?,?为常数，且A?0,??0）的周期。 分析：从例1中发现：（1）T?2??2? 1 （2）T （3）???2?2 得到新结论的过程是培养学生探索问题，发现规律，作出归纳，合理建构的过程，让学生观察、分析、猜想，使学生的认识从具体向抽象转化，得到可能性的结论，让学生领悟问题探究的学习方法，培养学生思维能力和乐于探索、大胆创新的科学精神。 2? 12猜想：y?Asin(?x??)（其中A,?,?为常数，且T?4??A?0,??0）的周期为2?. ?由周期函数定义可验证. 若把条件“??0”改为“??0”， 则上面函数的周期为同理： 2?|?|. y?Acos(?x??)（其中A,?,?为常数，且2?|?|. A?0,??0）的周期是周期的求法： ①公式法 ②图象法 ③定义法 课 堂 反 馈 1.等式 sin(300?1200)?sin300是否成立?如果这个等式 成立,能否说1200是正弦函数y?sinx 的一个周期？ 通过课堂反馈能准确、及时2.求下列函数的周期: 地了解学生对本节课的掌握情况,做到及时反馈、评价,及时查3(1)y?sinx,x?R漏补缺,达到堂堂清. 4 (2)y?cos4x,x?R 1cosx,x?R21?(4)y?sin(x?),x?R34(3)y? 4
回 顾 反 思 课 外 作 业 与 课 外 思 考 1.周期函数、周期概念。 引导学生对所学知识进行2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π. 小结,有利于学生对已有的知识3.周期函数y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??) （其结构进行编码处理,加强记忆; 引导学生对学习过程进行2?中A,?,?为常数，且A?0,??0）的周期是. 反思,为今后的学习进行有效调|?|控打下良好的基础. 4．周期的求法： ①公式法 ②图象法 ③定义法 5.探索问题的思想方法 6.总结在探索和交流中的体会 课外作业： 求下列函数的周期： x?(1)y?3sin，x?R；(2)y?sin(x?)，x?R； 410 1??x?R(3)y?cos(2x?),(4)y?3sin(x?)，x?R． 课外作业的布置是为了进243一步巩固课堂所学知识； x??（5）y?cos+1,x?R;(6)y?sin(?x)，x?R； 课外思考题的布置是让学332生把课堂探索拓展到课外探索，课外思考： 进一步激发学生探究欲望，进一求下列函数的周期： 步培养学生创造性思维。 （1）y?|sinx|，x?R；（2）y?|cos2x|，x?R 附：板书设计 课题：正弦、余弦函数的周期性 1． 周期函数定义 3. 例1 版演及学生演示区 2． 正弦y=sinx函数的周期为2? 4. y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??) 余弦函数y=cosx的周期为2? 的最小正周期为 为了使学生全面系统地了解本节内容的知识结构,达到突出重点,简洁明了的目的. 设计意图 2?|?|. 五.评价分析:
在课堂上：
1．通过观察学生是否积极主动地参与数学学习活动，是否愿意和能够与同学交流数学学习的体会，与他人合作探索数学问题，达到对学生数学学习过程的评价。
2．通过尝试性练习与达标测评，达到对学生的数学基础知识和基本技能的评价。
3．通过观察学生在数学探索活动中，是否具有问题意识，是否善于发现和提出问题，能否选择有效的方法尝试来解决所提出的问题，达到对学生能力的评价。
在课后：
通过做练习、做作业，来反馈教学效果，当天作业，学生当天完成，教师当天批改，当天反馈，做到堂堂清、日日清。
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教案说明
本节课的教案主要依据新课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”新理念，结合教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素来设计的，《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性。本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数又一深入探讨。正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充。通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础。所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用。
设计本节课的步骤为：①从自然界中的周期现象出发，创设问题情境引入，使学生了解数学来源于生活，激发学生的探究欲望；②通过对自然界中的周期现象的分析与y=sinx图形的分析比较、概括抽象出周期函数的概念，引入周期函数的概念，体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程；③运用数形结合方法研究正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx的周期；④再运用归纳推理的方法探究出y?Asin(?x??)的周期；⑤最后运用正弦、余弦函数的周期去解决问题。
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