2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案（宁夏）
一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 7．Ｄ 8．Ｂ 二、填空题
3．Ａ 9．Ｃ
4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ 12．Ｂ
10．Ｄ
11．Ｂ
13．3 14．?1 三、解答题
15．1?2i 16．240
17．解：在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得
BCsin?BDC?CDsin?CBD．
所以BC?CDsin?BDCsin?CBD?s·sin?sin(???)．
在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?18．证明：
s·tan?sin?sin(???)．
S
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA?OB?OC?22SA，且
O B A M
AO?BC，又△SBC为等腰三角形，故SO?BC，且
C
SO?22SA，从而OA?SO?SA．
222所以△SOA为直角三角形，SO?AO．
又AO?BO?O． 所以SO?平面ABC． （Ⅱ）解法一：
，OM取SC中点M，连结AM，由（Ⅰ）知SO?OM?S，CA?M．S
∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角．
由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC．
O，C?SAA得，
所以AO?OM，又AM?32SA，
故sin?AMO?AOAM?23?63．
所以二面角A?SC?B的余弦值为解法二：
33．
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系
O?xyz．
设B(1，0，0)，则C(?1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1)．
1?1SC的中点M??，0，2?2??????1?1??????11?????0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)． ?，MO??，2?2??2?2??????????????????∴MO·SC?0，MA·SC?0．
?????????故MO?SC，MA?SC， z S ??????????????MO·cos?MO，MA???????MO·A?SC?B的平面角． ????MA3， ?????3MAM O C A 所以二面角A?SC?B的余弦值为33． x B y 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?x22， 代入椭圆方程得 2?(kx?2)?1． 2整理得??12?2?k?x?22kx?1?0 ① ?2?直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于??8k2?4?2222???12?2?k??4k?2?0， ?2?解得k?? 或k?．即k的取值范围为??∞，???2??2． ?，?∞??????2??2?????????（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP?OQ?(x1?x2，y1?y2)， 42k1?2k2由方程①，x1?x2??． ② 又y1?y2?k(x1?x2)?22． ③ ????而A(2，0)，B(0，，1)AB?(?2，1)． ????????????所以OP?OQ与AB共线等价于x1?x2??2(y1?y2)， 将②③代入上式，解得k?22． 由（Ⅰ）知k?? 20．解： 22或k?22，故没有符合题意的常数k． 每个点落入M中的概率均为p???1?4?14． 依题意知X~B?10000，?． （Ⅰ）EX?10000?14?2500． （Ⅱ）依题意所求概率为P??0.03?????4?1?0.03?， 10000?XX??P??0.03??4?1?0.03??P(2425?X?2575) 10000??2574??t?24262574C10000?0.25?0.75tt10000?t 2425??t?2426Ct10000?0.25?0.75t10000?t??Ct?0t10000?0.25?0.75t10000?1 ?0.9570?0.0423?0.9147． 21．解： （Ⅰ）f?(x)?1x?a?2x， 32依题意有f?(?1)?0，故a?． 从而f?(x)?2x?3x?1x?322?(2x?1)(x?1)x?32． 3?3??∞?，当??x??1时，f?(x)?0； f(x)的定义域为??，2?2?当?1?x??当x??1212时，f?(x)?0； 时，f?(x)?0． ??32????1????1??单调减少． 2?从而，f(x)分别在区间??，?1?，?∞?单调增加，在区间??1，???，2（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a，?∞)，f?(x)?2x?2ax?1x?a2． 方程2x2?2ax?1?0的判别式??4a2?8． （ⅰ）若??0，即?2?a?（ⅱ）若??0，则a?2，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值． 2或a??2． (2x?1)x?22若a?2，x?(?2，?∞)，f?(x)?． ??2??2当x??时，f?(x)?0，当x???2，所以f(x)???，?∞?时，f?(x)?0，??????222????2无极值． 若a??2，x?(2，?∞)，f?(x)?(2x?1)x?22?0，f(x)也无极值． （ⅲ）若??0，即a??a?a?2222或a??2，则2x?2ax?1?0有两个不同的实根 a?2222x1?，x2??a?． 当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值． 当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值 判别方法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值． 综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，?∞)． f(x)的极值之和为 f(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x1?ln(x2?a)?x2?ln2212?a?1?1?ln2?ln2e2P ． 22．Ａ （Ⅰ）证明：连结OP，OM． A O 因为AP与?O相切于点P，所以OP?AP． M B 因为M是?O的弦BC的中点，所以OM?BC． C 于是?OPA??OMA?180°． 由圆心O在?PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以?OAM??OPM． 由（Ⅰ）得OP?AP． 由圆心O在?PAC的内部，可知?OPM??APM?90°． 所以?OAM??APM?90°． 22．Ｂ 解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos?． 所以x2?y2?4x． 22即x?y?4x?0为?O1的直角坐标方程． 22同理x?y?4y?0为?O2的直角坐标方程． （Ⅱ）由 ??x1?0，?x2?2?x?y?4x?0，解得?． ??22y?0，y??2??1?2?x?y?4y?0即?O1，?O2交于点(0，0)和(2，?2)．过交点的直线的直角坐标方程为y??x． 22．Ｃ解： （Ⅰ）令y?2x?1?x?4，则 y y?2 O 124 ? x 1??x?5， x≤?，?2?1?y??3x?3， ??x?4，．．．．．．．．．．．．．．．3分 2??x?5， x≥4．??作出函数y?2x?1?x?4的图象，它与直线y?2的交点为(?7，2?． 2)和?，?3??5???5?所以2x?1?x?4?2的解集为(?x，?7)??，?x?． ?3（Ⅱ）由函数y?2x?1?x?4的图像可知，当x??值? 9212时，y?2x?1?x?4取得最小 ．