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1n?11?()1n1n?181n401n4?2[1?()]?2[1?()]???12()?()?????14分 12232341?420. 解:（I）取PC的中点G，连接FG,EG，
?FG//CD,AE//CD,?FG//AE，?A,F,G,E四点共面?????2分 ?AF//平面PCE,?AF//GE?????4分
?AFGE为平行四边形
AB?1?????5分
22 （II）（i）证明：?异面直线PE,CD所成的角为60?，??PEB?60? ?PE?BE?1,?PB?1，取CE中点O，
CD,?AE??1且?EDC?90?， 同理BO? ?PE?PC ?GF?1122
所以?OP2?OB2?BP2,?PO?OB,?PO?CE,?PO?平面CDAE ???8分
?PO?平面PCE,?平面PCE?平面CDAE???10分
（ii）将该几何体补形成如图所示的长方体，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系， P(,1122,22),A(0,2,0),D(1,2,0)???12分
??? 取平面PCE的一个法向量m?(1,1,0) ?设平面PAD法向量为n?(x,y,z)，
????????132?AD?(1,0,0),AP?(,?,)，
222????????2z?n?AD?0z?3由??????得n?(0,，得n?(0,,z)，取
3??n?AP?02,3)???14分
????????m?n????cos?m,n????|m||n|111
111平面PEC与平面MAB1所成角的余弦值为
21. （I）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，
当e?22???15分
时，a?222b，所以椭圆方程为x?2y?2b，联立直线l:y?kx?m
22222可得(1?2k)x?4kmx?2m?2b?0
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4km?x?x??122?2m?1?2k由韦达定理可得?，所以 y?y?k(x?x)?2m?12122221?2k?xx?2m?2b2?121?2k?????????????4km2m,)， ?OP?OA?OB?(x1?x2,y1?y2)，?P(?221?2k1?2k1yy?y21，故kOP?k????1 ?kOP?P?1??2xPx1?x22k所以四边形OABP的对角线不可能垂直??????7分 （II）l与直线OP的倾斜角互补，则有kOP??k，即?12k??k，故k?212
因为P(?2km,m)在椭圆上，代入有：(?2km)2?m2?2b2，故b2?2m2 短轴端点B(0,?b)到l的距离d?|?b?m|k?12?|?2m?m|32
|AB|?k?1|x1?x2|?3|m| 342即c?，?|AB|d?63?362.???????????15分
22.解：（I）（i）?f(x)?x3?ax?b,a,b?R,?f'(x)?3x2?a
2设切点为(x0,y0)，则切线方程为y?y0?(3x0?a)(x?x0)，将点A(,?)代入得
1328?38?y0?(3x0?a)(212?x0)可化为16x0?12x0?4a?8b?3?0
32设g(x)?16x3?12x2?4a?8b?3
?g'(x)?48x?24x，?y?g(x)的极值点为0,?过点A(1212
3,?)作曲线E的切线，这样的切线有且仅有两条 2813?g(0)?0或g()?0，?a?2b??或a?2b??1????4分
24（ii）因为点A在曲线E上，所以a?2b??1
113f(x)?|b|??x?ax?b?|b|?
223当b?0时，左边=x?ax?12?x?(?1?2b)x?12312
2令函数h(x)?x?(?1?2b)x?3(0?x?1)，?h'(x)?3x?(1?2b)
12?0
当1?2b?0时h'(x)?0，函数y?h(x)在[0,1]上单调递增，h(x)?h(0)?当1?2b?0即0?b??12时，由h'(x)?0得x?2b?13
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∴函数y?h(x)在[0,?h(x)?h(??2(2b?1)32b?133)??2b?132b?1312??23]上单调递减，在[2b?1312??(2b?1)12?0；
122b?132b?13,1]上单调递增 ?12
2b?1当b?0时，左边=x3?(?1?2b)x?2b?令函数k(x)?x3?(?1?2b)x?2b?12
(0?x?1)
2?k'(x)?3x?(?1?2b)，由k'(x)?0得x?2b?13 12?0
当2b?13?1时，k(x)?k(1)?即b?1时，函数y?k(x)在[0,1]上单调递减，
2b?1333]上单调递减，在[122b?13当0?b?1时，函数y?k(x)在[0,k(x)?k(2b?13)??2(2b?1)32b?1,1]上单调递增
2b?1?(2b?1)?1212
令函数m(b)??设2b?132(2b?1)333?(2b?1)? 在(33,1)上单调递增
?t?(33,1)，m(t)??2t3?3t2??m(t)?m()?0????10分
x3x（II）由e?f(x)?x得e?ax?b对x?R恒成立，显然a?0． 若a?0,则ab?0
x若a?0，则ab?a(e?ax)
设函数w(x)?a(e?ax)，由w'(x)?a(e?a)?0得x?lna
所以函数w(x)?a(e?ax)在(0,lna)上单调递减，在(lna,??)上单调递增 ?w(x)?w(lna)?a(a?alna)
设r(a)?a(a?alna),?r'(a)?a(1?2lna) 由r'(a)?0得0?a?12e xxx∴函数y?r(a)在(0,e)上单调递增，在(e,??)上单调递减 ∴r(a)?r(e)?
e，即ab的最大值为
12e，此时a?e,b?12e???14分
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