?121??? P??011???111????1?0?11??011??????112???-1-3-2?. ?101??244?????(2)由???1?2?2?3?3,得?在基?1,?2,?,?n下的坐标为
x?(1,2,?3)T,由y?P?1x,得 ?011??1???7?????1???1 y?Px??-1-3-2??2????1?.
?244???3?2?3???????(3)设??(?1,?2,?3)T是所求的向量，它在基?1,?2,?3和基
?1?1,?2,?3下的坐标下相同，不妨设为x?(x1,x2,x3)T。由题意容
易得出：
(?1,?2,?3)x???(?1,?2,?3)x?(?1,?2,?3)Px 又因为?1,?2,?3线性无关，所以 x?Px， 即
?1-1-1? ?142?x?0
??2-4-3???解得
x?(0, 0, 0)T， 从而得到 ??(0, 0, 0)T.
例11 在所有2?2矩阵构成的4维线性空间P2?2中，证明
?1???11??, ?2???-1-1??, ?3???1-1??, ?4???1????????11??11??1-1??-11??, 构成一-1???12?个基，并求矩阵????34??在这个基下的坐标。
??解
由例7易知E11, E12, E21, E22 是P2?2的一个基，因此有
(?1, ?2, ?3, ?4)?(E11,E12,E21,E22)P (4)
其中
?111?1???11?11?? P??1?111????1?1?1?1???经计算P?16?0，故P可逆，从而?1, ?2, ?3, ?4线性无关，因此它构成一个基,且(4)式就是由基E11, E12, E21, E22 到基
?1, ?2, ?3, ?4的基变换矩阵。
设?在基?1, ?2, ?3, ?4下的坐标为(y1,y2,y3,y4)T，而已知
?在基E11, E12, E21, E22 下的坐标为(1, 2, 3, 4)T，由坐标变换公式得
?5??y1??1??1111??1????????????2?1?11?1?1??2???1??y2??1?2??P??y??3?4?1?11?1??3???1?
?3?????????????????y?2?4???111?1??4??0??4???另解
设?在基?1, ?2, ?3, ?4下的坐标为y?(y1,y2,y3,y4)T，则
????34???y1?1?y2 ?2?y3?3?y4 ?4
???11??11??1-1??-11?????????y1??y2??y3??y4?????? 11-1-11-11-1?????????12??y1?y2?y3?y4???y?y?y?y234?1得到
y1?y2?y3?y4?? ?y1?y2?y3?y4?11??y1??1??11??????211?11?????y2? ????
31?111??y3????????4??1?1?1?1??y??????4?所以
1?5?y???1?0?.
2?2?T