23．（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
又∵∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB.
∴AB=AD. ???????????????????（2分） 同理有AB=BE. ?????????????????（1分） ∴AD=BE. 又∵AD∥BE.
∴四边形ABED为平行四边形. ???????????（2分） 又∵AB=BE..
∴□ABED为菱形. ????????????????（1分） （2）∵AB=BE，∠ABC=60°,
∴⊿ABE为等边三角形. ??????????????（2分） ∴AB=AE.
又∵AD=BE=EC, AD∥EC.
∴四边形AECD为平行四边形. ???????????（2分） ∴AE=DC. ∴AB=DC.
∴梯形ABCD是等腰梯形..?????????????（2分）
24．解：（1）将点（-1,0）代入y??x2?2x?c，得
0??1?2?c，∴c=3. ??????????（1分） ∴ 抛物线解析式为：y??x2?2x?3.??????（1分）
化为顶点式为y??(x?1)2?4??????????（1分） ∴ 顶点D的坐标为（1,4）. ??????????（1分） （2）设点P的坐标为（x，y）.∵OB=4，OC=3，∴BC=5.
PBOB又∵⊿ABP∽⊿OBC，∴.??????????（1分） ?ABBC故PB?OBBC?AB?45?5?4
有 y?PB?sin?CBO，∴y?4?代入y??125??3434x?3，得
4535?125.??????（1分）
x?3，解得 x?45.?????????????（1分）
所以点P坐标为（，34125）?????????????（1分）
94（3）将x=1代入y??得 DM?4?94?74x?3，得y?747，故点M的坐标为（1，
94）. ????（1分）
.故只要NE???3即可. ????????（1分）
由 (?x2?2x?3)???2?x?3??，得 4?44x?11x?7?0，解之得x?74；????????（1分） ,或x?1（不合题意，舍去）
74由 (?34x?3)??x?2x?3??2?，得4x?11x?7?0，解之得
2 —6—
x?11?8233. ????????（1分）
74,x2?11?8233,x3?11?8A1345°综上所述，满足题意的点N的横坐标为x1?233.
25.（1）猜想：EF=BE+DF. ????????（1分） 证明：将⊿ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得⊿ABF′，易知点F′、B、E在一直线上.图1. ???（1分） ∵AF′=AF，
∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF， 又 AE=AE，
∴⊿AF′E≌⊿AFE.
∴EF=F′E=BE+DF. ????????（1分） （2）由（1）得 EF=x+y 又 CF=1-y，EC=1-x，
∴ ?1?y???1?x???x?y?.????（1分）
222D2yF1-yyF'BxE1-xC图1?0?x?1?.???（1+1分） 1?x（3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知 EF=BE+DF，故此时⊙E与⊙F外切； ????????（1分） ②当点E在点C时，DF=0，⊙F不存在.
③当点E在BC延长线上时，将⊿ADF绕着点A按顺时
F针方向旋转90°，得⊿ABF′，图2.
有 AF′=AF，∠1=∠2，BF??FD，∴∠F′AF=90°. A2D45° ∴ ∠F′AE=∠EAF=45°.
1 又 AE=AE，
G∴⊿AF′E≌⊿AFE. ?????（1分） ∴ EF?EF??BE?BF??BE?FD.?（1分）
EBF'C∴此时⊙E与⊙F内切. ?????（1分）
图2综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当
点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切.
（4）⊿EGF与⊿EFA能够相似，只要当∠EFG=∠EAF=45°即可. 这时有 CF=CE. ???????（1分） 设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x- y.
化简可得 y?由 CE21?x?CF22?EF，得
222 ?x?1???1?y???x?y?. 化简可得 y?x?1x?1?x?1?. ????????（1分）
x?1x?1又由 EC=FC，得 x?1?1?y，即x?1?1?2，化简得
x?2x?1?0，解之得 ????????（1分） x1?1?
2,x2?1?2（不符题意，舍去）. ????????（1分）
∴所求BE的长为1?2.
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