数列知识点和常用的解题方法归纳
一、 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?2d
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m?1?； bmT2m?1 （5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为 0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界 项，即：
当a1?0，d?0，解不等式组??an?0可得Sn达到最大值时的n值。
?an?1?0?an?0 当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值。
a?0?n?1 如：等差数列an，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n? （由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1
??
又S3??a1?a3?·3?3a22?1，∴a2?1 3 1
∴S??a?1?1??n1?an?nn?2??a2?an?1?·n2??3?2?18 ?n?27） 二、等比数列的定义与性质 定义：an?1a?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1 n 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy
?na1(q?1) 前n项和：S?nn??a（要注意!） ?1?1?q??1?q(q?1) 性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列 三、求数列通项公式的常用方法
1、公式法
2、由Sn求an；（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 3、求差（商）法
如：?a1n?满足2a?11122a2????2nan?2n?5?1?
解：n?1时，12a1?2?1?5，∴a1?14
n?2时，12a111?22a2????2n?1an?1?2n?1?5?2?
?1???2?得：1n?1?14(n?1)2nan?2，∴an?2 ，∴an???2n?1(n?2)［练习］
数列?an?满足S5n?Sn?1?3an?1，a1?4，求an （注意到an?1?SSn?1n?1?Sn代入得：S?4 n 又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4n n?2时，an?Sn?Sn?1????3·4n?1
2
4、叠乘法
an 例如：数列?an?中，a1?3，n?1a?n?1，求an n 解：
a2aa12n?1aa·3??n?·??，∴n?1 1a2an?123na1n 又a31?3，∴an?n 5、等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
n?2时，a2?a1?f(2)? a?a?32?f(3)??????两边相加，得：
?an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)????f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n) ［练习］
数列?a?1n?，a1?1，an?3n?an?1?n?2?，求an （an?12?3n?1?） 6、等比型递推公式
an?can?1?d?c、d为常数，c?0，c?1，d?0? 可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x?
?an?can?1??c?1?x
令(c?1)x?d，∴x?dc?1 ∴??ad??n?c?1??是首项为a1?dc?1，c为公比的等比数列 ∴adc?1????a?d?n?1n?1c?1??·c ∴a?d?n?1dn???a1?c?1??c?c?1 3
［练习］
数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an
?4? （an?8????3? 7、倒数法
n?1?1）
例如：a1?1，an?1?2ana?2111 ，求an ，由已知得：?n??an?2an?12an2an ∴1an?1??1?1111? ， ???为等差数列，?1，公差为 an2a12?an? ?2111 ?1??n?1?·??n?1? ，∴an?n?1an22三、 求数列前n项和的常用方法
1、公式法：等差、等比前n项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：?an?是公差为d的等差数列，求?ak?1n1 kak?1解：由111?11???????d?0?
ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?nn11?11? ∴??????
aadaa?kk?1kk?1k?1k?1?
?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3??anan?1???1?11????d?a1an?1?
［练习］ 求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n1） n?1 （an??????，Sn?2? 3、错位相减法：
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项
和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。
4
如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?
?2?
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1时，Sn1?x?nx???nn?1?x?21?x
x?1时，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2
4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Sn?a1?a2????an?1?an???相加
Sn?an?an?1????a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an??? ［练习］
x2?1??1??1?已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f????????2??3??4?1?x2?1????x?2
x?1? （由f(x)?f?????x?1?x22x21???1 2221?x1?x?1?1????x? ∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???
?????????1???2???1???3???1??4? ?11?1?1?1?3）22
例1设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（ ）
A．128 B．80 C．64 D．56 （福建卷第3题）
略解：∵ a2 +a7= a1+a8=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．
例2 已知等比数列{an}满足a1?a2?3，a2?a3?6，则a7?（ ） A．64
答案：A．
B．81
C．128
D．243 （全国Ⅰ卷第7题）
例3 已知等差数列?an?中，a2?6，a5?15，若bn?a2n，则数列?bn?的前5项和等于（ ）
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