2008级985高等数学（下）及其参考答案
2008级高等数学下册试题（985）
一、填空题（每小题3分，共 15分
1微分方程y???2y??5y?0的通解为________________. 解：原微分方程对应的特征方程为r2?2r?5?0 解之，得特征根为：r??1?2i 故通解为：y?e?x?c1cos2x?c2sin2x?.
2、设区域D为x2?y2?1，则???x2?y2?dxdy?____________.
D解：???x2?y2?dxdy??2?d??10r2.rdr?0?D2.
3．已知两直线的方程是
L?1y?2z?3x?2y?1z1:x1?0??1,L2:2?1?1,
则过L1且平行于L2的平面方程是________________.
???ijk解：可取所求平面的法向量为????n?10?1?i?3j?k. 211又所求平面过点 ?1,2,3?，由平面的点法式方程得，所求平面为：
1.?x?1???3y??2??1z.??3?，即0x?3y?z?2?0. 4、设S是平面x?y?z?15被圆柱面x2?y2?1截出的限部分，则曲面积分
??yds?_____________.
S解：由对称性知，显然??yds?0.
S5、设????x,y,z?|x2?y2?z2?1?，则???x2dxdydz?___.
?解：由轮换对称性，知
???x2dxdy?d???z2ydx?d???ydz2z. dxdydz???故???x2dxdydz?122212????1220sin?d??0?.?d?
?3????x?y?z?dxdydz?3?0d? ?4?15.
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2008级985高等数学（下）及其参考答案 二、选择题（每小题3，共 15 1. 级数?n?1?n4n的和为?A?
29?A?49； ?B??； ?C?19； ?D?89.
解：令s?x??x?nxn?1n?1,x???1,1?.
? 则?s?x?dx?0?n?1?x，s?x???x?1?x?1?xnx?1??. ?2??1?x? 故
??n?1?1??.n???n44n?1?4?n1?n?1?1?1?114s????. 24?4?4?91?1???4??2. 已知f?x?,f?y?在区域D???x,y?|x?y?1?上连续，且f?x??0,f?y??0. 则
??Daf?y??fb?ff???y?x??xdxd?y. ??B?A?a?b； ?B?affa?b； ?C?2?a?b?； ?D?2?a?b?.
解：记I???D?y??bf?x?dxdy （1）
x?fy????
?x?x?v?y?v?0110??1
?u?y,?x?x,做变换?，即?
v?x.y?u.??其雅可比行列式为??x?v,?y?u.J??u?y?u故由积分变换公式，得：
I???f?x??f??yD?af?y??b?f?xdxd?y?a?f?u??bf???f?u??f?vD?vJdu?dv?D??f?u???a???f?u??bffv d udvv其中D????u,v?|u?v?1?与D???x,y?|x?y?1?形状相同. 换记号，则有
I???Daf?x??bff?x??f?y?dxdy （2） ?y?2
2008级985高等数学（下）及其参考答案 故 由（1）、（2）相加，得： I?1?a?b?dxdy??a?b????22D12?2?a?b.
3. 曲线积分?ydx?xdyx?y22L等于?A? ，中L为x2?y2?1，正向.
?； ?D??A?解：??2?； ?B?ydx?xdyx?y222?； ?C??.
L??Lydx?xdy??2A??2?.（A为L所围成的区域的面积）.
x4. 设曲线积分??f?x??e???sinydx?f?x?cosydy与路径无关，其中f?x?具有一L阶连续导数，且f?0??1,则f?x?等于?D?
?A?e?e4x?x； ?B?e?e4x?x； ?C?e?e2x?x； ?D?e?e2x?x.
x?sinydx?f?x?cosydy与路径无关，故 fx?e解：因为?????L????f??x??ex??sin?yy??????f?x?cosy???x，
2x?cosy??f??x?cosy，对于任何?x,y??R成立 即 ?fx?e???? 化简，得 f??x??f??x?x e （1）
?1dx1dx?1?1 由公式：f?x??e???exe?dx?c??e?x?e2x?c??ex?ce?x （2）
?????2x?2又代入f?0??1,得：c?12.所以，f?x??e?e2?x.
sinx?xf?x?x35. 设f?x?在点x?0的某个邻域内二阶可导，且limf???0???C?.
x?0?12,则
?A?1； ?B?0； ?C?43； ?D?23.
解：因为limsinx?xf?x?x3x?0?12,故
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2008级985高等数学（下）及其参考答案
sinx?xf?x3?x?12???x? （1）
???x?.x?2 f?x??12x?2sixnx212x?xsxin?0?x? （2）
22由（2）式，得 f?0??limf?x??lim?x??x?0x?01sinxx?22?o?x22????1 （3）
??1 且f??0??limf?x??f?0?x1x?2x?0?lim2x?0x?sinxxx?1?o?x???1 x?cosx?12x2sinxxx?lim2x?0?11?lim2x?0x?sinx?xx233?lim2x?0
31?cosx?lim2?lim?0. （4） x?02xx?02xx2由洛必达法则，
12?limsinx?xf?x?x3x?0?limcosx?f?x??xf??x?3x???xf2x?0
?sinx? ?limx?02f??x??6x?x???f??x???sinx1lim?limx?0?x06x3x12?f???1?f???0? 2?f0??xf??l?ixm?
0 ?limx?0?sinx?f2??x??f???x?6x1?f???0?6??0???f20? ??2. ??故
1?f???0?634f???0??.
311??6三、计算、证明题（每题10分，共 70分）
1．证明：曲面 xyz?a3?a?0?上任一点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为一定数.
证：任取曲面?:xyz?a3?0上一点M0?x0,y0,z0?
令 F?x,y,z??xyz?a3，则曲面在M0点处的切平面的法向量为
?n??F??xM,0??Fy?M,0?z?F?M???0?0y,0z0x,0z?0 x.0y所以曲面在M0点处的切平面为：
y0z0?x?x0??x0z0?y?y0??x0y0?z?z0??0.
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2008级985高等数学（下）及其参考答案 即
x3a3?y3a3?z3a3?1.
y0z0x0z0x0y0故所求四面体的体积为
113a3a3a9a9a93V?....???a. 2232y0z0x0z0x0y02?x0y0z0?2?a3?2333992. 叙述格林公式并计算曲线积分I?????2xy?y?dx??2xy?x2L2?10x?dy.其中L是以?0,0?,?1,0?,?1,1?,?0,1?为顶点的正方形的正向边界曲线. 解：格林公式的叙述这里略去.
2????2xy?x2?10x????2xy?y??22?dxdyI????L??2xy?y?dx??2xy?x?10x?dy?????x?y??D???? ?3．
???2y????D2x?1?0???y2?ydyy?2??dxdy???Ddxdy10? 10.?x?2y?dx?2?x?y?是否为某个二元函数u?x,y?的全微分？若是，求u?x,y?.
y?P?y解：（一）因为
?Q?x??2?x?y?3?在整个xoy平面上除原点外恒成立，所以，
?x?2y?dx?2?x?y?（二）可取
ydy是某一个函数u?x,y?的全微分.
u?x,y?????x,y?1,0??x?2y?dx??x?y?2xydy??yydyy21??x?2y?dx?0?x?y?2
x ?lny??x?y?dx?0?x?y?2???x?y?0xydx2
1?? ?lny??lnx?y?lny??y???? x?y??y?1 ?lnx?y?1?yx?y.
4．计算曲面积分???x2?y2?dS，其中曲面S为锥面z?Sx?y22及平面z?1所围
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