导数综合练习（二）
1.（15年北京文19/20）
x2?klnx，k?0．设函数f?x??（Ⅰ）求f?x?的单调区间和极值； 2（Ⅱ）证明：若f?x?存在零点，则f?x?在区间1,e?上仅有一个零点
??x2kx2?k?klnx，k?0得f??x??x??解析：（Ⅰ）由f?x??，由f??x??0解得x?k 2xxf?x?与f??x?在区间?0,???上的情况如下：
所以，f(x)的单调递减区间是(0,k)，单调递增区间是(k,??)；
f(x)在x?k处取得极小值f(k)?k(1?lnk). 2k(1?lnk). 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在区间(0,??)上的最小值为f(k)?因为f(x)存在零点，所以
k(1?lnk)?0，从而k?e. 2当k?e时，f(x)在区间(1,e)上单调递减，且f(e)?0， 所以x?e是f(x)在区间(1,e]上的唯一零点.
1e?k?0，f(e)??0， 22当k?e时，f(x)在区间(0,e)上单调递减，且f(1)?所以f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点.
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点. 2.（15年安徽文21/21） 已知函数f(x)?ax(a?0,r?0) 2(x?r)（1）求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；（2）若
a?400，求f(x)在(0,??)内的极值。 r解析：（1）由题意知x??r，函数定义域为???,?r????r,???
a?x2?r2?2xr??ax?2x?2r?a?r?x??x?r?axax；f??x?? f(x)??22?22422(x?r)x?r?2xr(x?r)?x?r?2xr?当x??r或x?r时，f??x??0；当?r?x?r时，f??x??0 所以函数f(x)的递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r），（r，+∞） （2）由（1）知f?(r)?0，f?x?在?0,r?上单调递增，在?r,???上单调递减
x?r是f(x)的极大值点，所以在(0,??)内的极大值为f(r)?3.（15年福建文21/21） 已知函数f?x?ar?2r?2?100
?x?1??lnx?22．（Ⅰ）求函数f?x?的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x?1时，f?x??x?1；
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0?1，当x??1,x0?时，恒有f?x??k?x?1?．
1?x2?x?1解析：（Ⅰ）f??x???x?1?，x??0,???．
xx?1?5??x?01?5由f??x??0得?2解得0?x?．故f?x?的单调递增区间是?0,???． 22?x?x?1?0???1?x2（Ⅱ）令F?x??f?x???x?1?，x??0,???．则有F??x??．
x当x??1,???时，F??x??0，所以F?x?在?1,???上单调递减， 故当x?1时，F?x??F?1??0，即当x?1时，f?x??x?1． （Ⅲ）由（II）知，当k?1时，不存在x0?1满足题意． 当k?1时，对于x?1，有f?x??x?1?k?x?1?， 则f?x??k?x?1?，从而不存在x0?1满足题意． 当k?1时，令G?x??f?x??k?x?1?，x??0,???，
?x2??1?k?x?112则有G??x???x?1?k?．由G??x??0得，?x??1?k?x?1?0．
xx解得x1?1?k??1?k?22?4?0，x2?1?k??1?k?22?4?1．
当x??1,x2?时，G??x??0，故G?x?在?1,x2?内单调递增． 从而当x??1,x2?时，G?x??G?1??0，即f?x??k?x?1?， 综上，k的取值范围是???,1?． 4.（15年广东文21/21）（*）
设a为实数，函数f?x???x?a??x?a?a?a?1?。
（1）若f?0??1，求a的取值范围；（2）讨论f?x?的单调性； （3）当a?2时，讨论f?x??解析：
（1）f(0)?a?a?a?a?a?a，因为f?0??1，所以a?a?1
2224在区间?0,???内的零点个数。 x当a?0时，0?1，显然成立；当a?0，则有2a?1， 所以a?
111.所以0?a?，综上所述，a的取值范围是a?. 222
2??x??2a?1?x,x?a（2）f(x)??2对于u1?x2??2a?1?x，
??x?(2a?1)x?2a,x?a2a?11?a??a，开口向上，所以f(x)在(a,??)上单调递增； 222a?112?a??a，开口向上， 对于u1?x??2a?1?x?2a，其对称轴为x?22其对称轴为x?所以f(x)在(??,a)上单调递减.综上，f(x)在(a,??)上单调递增，在(??,a)上单调递减. （3）由（2）得f(x)在(a,??)上单调递增，在(0,a)上单调递减，所以f(x)min?f(a)?a?a. (i)当a?2时，f(x)min令f?x??2??x?3x,x?2?f(2)??2，f(x)??2
??x?5x?4,x?2244=0，即f(x)??（x>0）.因为f(x)在(0,2)上单调递减，所以f(x)?f(2)??2 xx44而y??在(0,2)上单调递增，y?f(2)??2，所以y?f(x)与y??在(0,2)无交点.
xx4232322当x?2时，f(x)?x?3x??，即x?3x?4?0，所以x?2x?x?4?0，
x42所以?x?2?(x?1)?0，因为x?2，所以x?2，即当a?2时，f?x??有一个零点x=2.
x(ii)当a?2时，f(x)min?f(a)?a?a2，当x?(0,a)时，f(0)?2a?4 ，
4f(a)?a?a2，而y??在x?(0,a)上单调递增，
x44当x?a时，y??.下面比较f(a)?a?a2与?的大小
aa4?(a3?a2?4)?(a?2)(a2?a?2)4??0，所以f(a)?a?a2?? 因为a?a?(?)?aaaa2
结合图像不难得当a?2，y?f(x)与y??综上，当a?2时，f?x??4有两个交点. x4有一个零点x=2；当a?2， xy?f(x)与y??4有两个零点. x
5.（15年湖北文21/22）（*）
设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=e， 其中e为自然对数的底数。
（Ⅰ）求f(x),g(x) 的解析式，并证明：当x?0时，f(x)?0,g(x)?1； （Ⅱ）设a?0，b?1 ，证明：当x>0时，ag(x)?(1?a)?解析：
（Ⅰ）由f(x), g(x)的奇偶性得：f(x)?g(x)?ex.① ?f(x)?g(x)?e?x.② 11联立①②解得f(x)?(ex?e?x)，g(x)?(ex?e?x).
22xf(x)?bg(x)?(1?b) x当x?0时，ex?1，0?e?x?1，故f(x)?0. ③ 1又由基本不等式，有g(x)?(ex?e?x)?exe?x?1，即g(x)?1. ④
21x11xex1（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f?(x)?(e?x)??(e?2x)?(ex?e?x)?g(x)， ⑤
2e2e21x11xex1 g?(x)?(e?x)??(e?2x)?(ex?e?x)?f(x)， ⑥
2e2e2当x?0时，
f(x)?ag(x)?(1?a)等价于f(x)?axg(x)?(1?a)x， ⑦ xf(x)?bg(x)?(1?b)等价于f(x)?bxg(x)?(1?b)x. ⑧ x设函数 h(x)?f(x)?cxg(x)?(1?c)x，由⑤⑥，有h?(x)?g(x)?cg(x)?cxf(x)?(1?c)?(1?c)[g(x)?1]?cxf(x).
当x?0时，
（1）若c?0，由③④，得h?(x)?0，故h(x)在[0,??)上为增函数，从而h(x)?h(0)?0， 即f(x)?cxg(x)?(1?c)x，故⑦成立.
（2）若c?1，由③④，得h?(x)?0，故h(x)在[0,??)上为减函数，从而h(x)?h(0)?0， 即f(x)?cxg(x)?(1?c)x，
故⑧成立.综合⑦⑧，得 ag(x)?(1?a)?6.（15年湖南文21/21）（*）
x*已知a?0，函数f(x)?aecosx(x?[0,??)). 记xn为f(x)的从小到大的第n(n?N)个极值点
f(x)?bg(x)?(1?b). x（Ⅰ）证明：数列{f(xn)}是等比数列；（Ⅱ）若对一切n?N，xn?|f(xn)|恒成立，求a的取值范围。
xx解析：(Ⅰ)f?(x)?aecosx?aesinx?*2aexcos(x?).
4??3?令f?(x)?0，由x?0，得x??m???x?m???,m?N
424而对于cos(x?即2k????4)，当k?Z时若2k???2?x??4?2k???2，
3????x?2k??，则cos(x?)?0； 444??3??5??若2k???x??2k??，即2k???x?2k??，则cos(x?)?0.
2424443?3??)与(m??,m??)上， 因此，f(x)在区间((m?1)?,m??4443?，(m?N)时， f?(x) 的符号总相反，于是当x?m??4n??3?2n??43?n?14cos(n??)?(?1)ae,n?N*此时f(xn)?ae， f(x)取得极值，所以xn?n??4423?3?2(n?1)??4(?1)aef(xn?1)?2???e易知f(xn)?0，而是常数， 3?n??f(xn)2(?1)n?1ae42n?23?2?ae4，公比为?e?的等比数列. 故{f(xn)}是首项为f(x1)?2?3?2n??34?ae(Ⅱ) 对一切n?N，xn?|f(xn)|恒成立，即n??恒成立， 42*