第75课 矩阵的运算
【自主学习】
第75课 矩阵的运算
(本课时对应学生用书第193~195页)
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?42??12??31??34??，计算AB. ??1. (选修4-2P83复习题1(5)改编)已知矩阵A=，矩阵B=??12??42??104??34??31??2410??. ?=???【解答】AB=?
?32??1-2??-5-1??31??，求二阶矩阵X. ??2. (选修4-2P65习题6改编)已知二阶矩阵X满足X=??ab??cd??， 【解答】设二阶矩阵X=??1-2??ab??32??31??cd??-5-1????=??， 则??a?-1，?a-2c?3，?b?0，?b-2d?2，????3a?c?-5，?c?-2，??3b?d?-1，?d?-1，所以?解得? ?-10??-2-1??. 所以二阶矩阵X=?
?1-2??5??-2-1??-15???3. (选修4-2P65习题6改编)已知矩阵A=，B=??，满足AX=B，求矩阵X.
?a??b?【解答】设X=??，
?a-2b?5，?1-2??a??5??a?7，?7????-2-1??b??-15??1?-2a-b?-15，b?1，????????由=，得解得所以X=??.
?21??12??，求逆矩阵A-1. 4. (选修4-2P58例6改编)已知矩阵A=?2112=2×2-1=3≠0，
【解答】因为|A|=
1??2-?33???1?2-1??12????-?-13?-12?所以A==?33?.
?2x?3y-1?0，?x?2y-3?0.
5. (选修4-2P57例5改编)用逆矩阵知识解方程组??2x?3y-1?0，?x?2y-3?0，【解答】因为?
?2x?3y?1，?x?2y?3，所以?
?23??1??x??12??3??y?????设X=，A=，B=??， ?2-3???-1?-12?则AX=B，且A=， ?2-3??1??-7??-12??3??5?-1???=??， 所以X=AB=??x?-7，?y?5. 所以?
?a11 a12??b11 b12??a11b11?a12b21 a11b12?a12b22??a a??b b??ab?ab ab?ab?22??2122??2111222121122222?1. 矩阵乘法的运算法则是?21=.
2. 矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.注意
?10??1-1??21??01??，计算AB，BA，并判断AB??变换的先后顺序，不能随意交换.如已知A=，B=?与BA是否相等.
?1-1??10??-1-1??01??21??21??， ???=?AB=??10??1-1??1-1??21??01??2-1??， ???=?BA=?所以AB与BA不相等.
3. 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律.如计算：
??1-1??10???10?????21???21?21??????； (1)X=???1-1???10??10???21???21??21?????????. (2)X=???1-1??10???10??-1-1??10??-3-1?????21???21????21??61?2141??????????=??. ??(1)【解答】X==?1-1???10??10???1-1??10??-3-1??21???21??21?????41??61?21???????. ??=????=?(2)【解答】X=
4. 对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.从几何变换的角度可以看出，逆矩阵实际上就是对应着原先变换的逆变换.若B为A的逆矩阵，则A是 B的逆矩阵，并且若逆矩阵存在，则一定是唯一的.并不是所有矩阵都有逆矩阵，事实上，矩阵可逆当且仅当其对应的行列式不等于零.