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全国中考数学压轴题精选(九)
81.（08广东茂名25题）（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=－过A（0，－4）、B（x1，0）、 C（x（1）求b、c的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y=－
23232x+bx+c经
-x1=5．
y 2，0）三点，且x2B C O x
A （第25题图）
x2+bx+c经过点A（0，－4），
∴c=－4 ……1分 又由题意可知，x1、x∴x1+x=23222是方程－x23x2+bx+c=0的两个根，
b， x12=－
32c=6 ··································································· 2分
由已知得（x又（x∴
94-x1）2=25
2-x2b2）2=（x1+x1）2－4x1x2=
94b2－24
－24=25
143解得b=±当b=
143 ·········································································································· 3分
时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．
143∴b=－． ········································································································· 4分
是方程－
23解法二：∵x1、x 即方程2x
22x2+bx+c=0的两个根，
－3bx+12=0的两个根．
1
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∴x=
3b?9b42?96，··········································································· 2分
∴x2－x=11439b2?962=5，
解得 b=±······························································································· 3分
（以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
····················································································································· 5分
又∵y=－
23x2－
143x－4=－
7223（x+
72）2+
256 ································· 6分
∴抛物线的顶点（－，
256）即为所求的点D． ······································ 7分
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与 抛物线y=－
23x2-
14323··························································· 8分 x-4的交点， ·×（－3）2－
143 ∴当x=－3时，y=－×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． ················· 9分
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，
3），但这一点不在抛物线上．············································································10分
82.（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）
已知点A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y?5x?12x上. （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.
（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）
解：（1）由5x?12x=0，·············································································· （1分） 得x1?0，x2??12522． ·················································································· （2分）
2
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∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（?125，0）． ······································ （3分）
（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），······························ （4分） 分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有
··················································· （5分） S?ABC=S梯形ADFC -S梯形ADEB -S梯形BEFC · =
(17?81)?22-
(17?44)?1(44?81)?12-
2···································· （6分）
=5（个单位面积） ······································································· （7分）
（3）如：y3?3(y2?y1)． ········································································· （8分）
事实上，y3?5?(3a)2?12?(3a) =45a2+36a． 3（y2?y1）=3[5×（2a）+12×2a-（5a+12a）] =45a+36a． ············ （9分） ∴y3?3(y2?y1)． ····················································································（10分）
83.（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴
的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB?1，OB?3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋
2
2
2
转60?后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y?ax?bx?c过点A，E，D． （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第26题图 A B F C D O x
2y E （08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点E在y轴上 ·················································· 1分 理由如下：
连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，?AB?1，BO??sin?AOB?123，?AO?2
，??AOB?30
??由题意可知：?AOE?60
3
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?????BOE??AOB??AOE?30?60?90
······································································· 3分 ?点B在x轴上，?点E在y轴上． ·（2）过点D作DM?x轴于点M
?OD?1，?DOM?30?
12?在Rt△DOM中，DM??点D在第一象限， ?31，?点D的坐标为??22?，OM?32
? ························································································· 5分 ???由（1）知EO?AO?2，点E在y轴的正半轴上
2) ?点E的坐标为(0，·························································································· 6分 1) ·?点A的坐标为(?3，?抛物线y?ax?bx?c经过点E， ?c?2
2由题意，将A(?3，1)，D??31，?22??代入y?ax2?bx?2中得 ???8??3a?3b?2?1a???9?? 解得 ??331b?2??b??53?a??422?9?892?所求抛物线表达式为：y??x?539x?2 ······················································· 9分
（3）存在符合条件的点P，点Q． ·········································································10分 理由如下：?矩形ABOC的面积?AB?BO?3 ?以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为23．
由题意可知OB为此平行四边形一边， 又?OB?3
?OB边上的高为2··································································································· 11分
4
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依题意设点P的坐标为(m，2)
89539?点P在抛物线y??x?2x?2上
??89m?2539m?2?2
解得，m1?0，m2??538
?53??P1(0，2)，P2??，2?
??8???以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ?PQ∥OB，PQ?OB?2)时， ?当点P1的坐标为(0，3，
y E A B F C D O M x
点Q的坐标分别为Q1(?3，2)，Q2(3，2)； 当点P2的坐标为?????53?，2?时， ?8??133?点Q的坐标分别为Q3??，2?，Q4??8???33?···············································14分 ，2?．·??8???
84.（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y??3x?2333与x轴
交于点A，与y轴交于点C，抛物线y?ax?2x?c(a?0)经过
A，B，C三点．
（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
y （2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
（08辽宁12市26题解析） 解：（1）?直线y??3x?3与x轴交于点A，与y轴交于点C．
A C O F B x
图16
5