长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学
高2013届第二次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．
（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A?{x|x?a?(a2?1)i}(a?R,i是虚数单位),若A?R，则a= A．1 B．-1 C．±1 D．0 2．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ．
A．f(x)?x2 B．f(x)?
1 xC．f(x)?lnx?2x?6 D．f(x)?sinx
23．已知p：存在x0?R,mx0?2?0.q:任意x?R,x2?2mx?1?0，若“p或q”为假命题，
则实数m的取值范围是
A．[1，+?） B．（一?，一1] C．（一?，一2] D．[一l，1]
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1??11,a4?a6??6,则当Sn取最小值时．n等
于 A．6
B．7
C．8
D．9
5．定义在R上的函数f(x)满足f(x?6)?f(x),当?3?x?1时,f(x)??(x?2)2,当一
1≤x<3时，f(x)?x,则f(1)?f(2)?f(3)??f(2013)?
A．2013
B．2012
C．338
D．337
?x?y?1?0?,那么z=4x·6． 如果实数x、y满足条件?y?1?02-y的最大值为
?x?y?1?0?
A．1
B．2
C．
1 2D．
1 4??x?3?3a(x?0)是x?(??,??)上的减函数，则7．已知函数f(x)??x(x?0)(a?0且a?1)?a
a的取值范围是
A．(0,]
23B．(,1)
13C．（2，3）
D．(,]
12238．已知F1，F2为双曲线C:x2?y2?1的左、右焦点，点P在C上，
|PF1|?2|PF2|,则cos?F1PF2=
A．
1 4B．
3 4C．
3 5D．
4 59．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC
的体积为
A．3 3B．23 3C．43 3D．53 310．已知函数y=x3-3x+c的图像与x恰有两个公共点．则c= A．一2或2 B．一9或3 C．一1或1
D．一3或1
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：
（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置）
11．若(x?a6)展开式的常数项是60，则常数a的值为 ． x12．若曲线|y|?2x?1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是 ．
x2y213．椭圆2?的的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、?1(a为定值，且a?5）5aB。△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 。
14．已知函数y=f（x+1）的图象关于点（一1，0）对称，
且当x∈（一∞，0）时．f（x）+xf（x）<0成立（其中f(x)是f(x)的导函数）， 若a?(3)?f(3),b?(log?3)?f(log?3),c?(log3)?f(log3),则a，b，c从大
0.30.31919到小的次序为 . 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若不等式|x?1|?|x?3|?a?4对任意的实数x恒成立，则实数a
a的取值范圉是 ． B．（几何证明选做题）如图所示．A，B是两圆的交点。AC是小圆的直径 D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点·
已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则AB= ．
C．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，已知A（1，0）B（0，线
?）点P在曲2?cos2??4cos???上，则|PA|+|PB|最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明
过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
已知△ABC中，A，B， C的对边分别为a，b，c，且2cos（1）若A?2B?3sinB,b?1。 25?，求边c的大小； 12（2）若a=2c，求△ABC的面积．
17．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，常数?>0,且?a1an=S1+Sn对一切正
整数n都成立.
18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC中， OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=20°，且OA=OB=OC=1． （1）设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使
PQ⊥OA，并计算
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设a1?0,??100,当n当为何值时，数列{lg
1}的前n项和最大? anAB的值． AQ（2）求锐二面角O一AC—B的平面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80％，二等品
率为20％：乙产品的一等品率为90％，二等品率为10％．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立． （1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求x的分
布列： （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
x2y2320．（本小题满分13分）已知点P（一1，）是椭圆E：2?2?1(a?b?0)上一点
2ab
F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
????????????（2）设A，B是椭圆￡上两个动点，满足：PA?PB??PO(0???4,且??2)求直
线AB的斜率。
（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求?的值。
21．（本小题满分14分）已知函数f(x)?lnx?ax2?(2?a)x.
（1）讨论f(x)的单调性： （2）设a>0，证明：当0 111时，f(?x)?f(?x); aaa（3）若函数y?f(x)的图像与x轴交于A，B两点·线段AB中点的横坐标为x0，证明： f(x0)?0.