石景山区第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C D A C C A
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
题号 答案 9 10 11 12 13 14 ?1 534 7；21 1 52 22；?? 33注：第11、14题第1个空3分，第2个空2分.
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步
骤． 15．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ tanC?37, ∴
sinC?37. cosC1． ……………………3分 822 又∵ sinC?cosC?1, 解得 cosC?? ∵ tanC?0，∴ C是锐角．
1． ………………………6分 855（Ⅱ）∵ CB?CA?，∴ abcosC?. 解得 ab?20． …………………8分
22 ∴ cosC?22 又∵ a?b?9， ∴ a?b?41．
222
∴ c?a?b?2abcosC?36．
∴ c?6． ………………………12分
16．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）f?(x)?3x?2ax?a． ………………………2分
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2?f(0)?b?2由题意知?，得
?f(?1)?3?2a?a?6??a??3 ． …………………5分 ?b?2? ∴ f(x)?x3?3x2?3x?2． ……………………6分 （Ⅱ）f?(x)?3x2?2ax?a?0． ∵ a?3，
∴ ??4a?12a?0．
2?a?a2?3a?a?a2?3a由f?(x)?0解得x?或x?，
33?a?a2?3a?a?a2?3a由f?(x)?0解得． ……………10分?x?33?a?a2?3a?a?a2?3a∴ f(x)的单调增区间为：(??, )和(,??)；
33?a?a2?3a?a?a2?3af(x)的单调减区间为： (,)．……12分
33
17．（本题满分14分） 解法一：
（Ⅰ）证明：∵ 面ABC⊥面BCD，?BCD?90?，且面ABC?面BCD?BC，
∴ CD?面ABC． ……………2分 又∵ AB?面ABC，
∴ DC?AB． ………………4分
（Ⅱ）解：如图，过点C作CM⊥AB于M，连结DM．
由（Ⅰ）知CD?面ABC．
∴ CM是斜线DM在平面ABC内的射影， ∴ DM?AB．（三垂线定理）
∴ ?CMD是二面角D?AB?C的平面角． …………………6分 设CD?1，由?BCD?90?，?CBD?30?得BC?3，BD?2．
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A∵ ?ABC是正三角形， ∴ CM?33?BC?． 22CD2?． CM3MN∴ tan?CMD?BCOD2∴ ?CMD?arctan．
3∴ 二面角D?AB?C的大小为arctan2． …………………9分 3 （Ⅲ）解：如图，取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，
连结AO、MO、NO、MN、OD， 则OM//AC，OM?11AC；MN//BD，MN?BD． 22∴ ?OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角． ………………11分 ∵ ?ABC是正三角形，且平面ABC?平面BCD， ∴ AO?面BCD，?AOD是直角三角形，ON?又∵ CD?面ABC，故AD?在?OMN中，OM?1AD． 2DC2?AC2?2ON?2．
3，MN?1，ON?1． 21MO3∴ cos?OMN?2． ?MN4∴ 异面直线AC和BD所成角为arccos3． ……………14分 4解法二：
（Ⅰ）分别取BC、BD的中点O、M，连结AO、OM． ∵ ?ABC是正三角形， ∴ AO?BC．
∵ 面ABC⊥面BCD，且面ABC?面BCD?BC， ∴ AO?平面BCD．
∵ OM是?BCD的中位线，且CD?平面ABC，
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∴ OM?平面ABC．
以点O为原点，OM所在直线为x轴，OC所
在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间 直角坐标系． ……………2分 设CD?1， 则O(0,0,0)，A(0,0,)，
BzA32B(0,?333,0)， C(0,,0)，D(1,,0)． 222MxODCy ∴ AB?(0,?33,?)，CD?(1,0,0)． ……………………4分 2233)?0?(?)?0?0． 22 ∴ AB?CD?0?1?(? ∴ AB?CD，即 AB?CD． …………………6分 （Ⅱ）∵ CD?平面ABC，
∴ 平面ABC的法向量为CD?(1,0,0)． ……………………7分 设平面ABD的法向量为n?(x,y,z)，
∴ AB?(0,?3333,?)，AD?(1,,?)． 222233)?y?(?)?z?0，即 22 ∴ n?AB?0?x?(?3y?3z?0．
n?AD?1?x?33?y?(?)?z?0，即 2x?3y?3z?0． 22 ∴ 令y?3，则x??3，z??1．
∴ n?(?3,3,?1)． ……………………9分
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∴ cos?CD,n??CD?nCD?n
??3?1?3?0?(?1)?0(?3)2?(3)2?(?1)2?12?02?02??313． 13 ∵ 二面角D?AB?C是锐角， ∴ 二面角D?AB?C的大小为arccos313． ………………11分 13（Ⅲ）∵ BD?(1,3,0)，AC?(0,33,?)， 22
∴ cos?BD,AC??BD?ACBD?AC33?0?(?)322． ??43312?(3)2?02?02?()2?(?)2221?0?3?∴ 异面直线AC和BD所成角为arccos
18．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）恰好取球3次的概率P1?3． ……………14分 44?3?36?； ……………………3分
7?6?535（Ⅱ）由题意知，?的可能取值为1、2、3、4、5，
3， 74?32P???2???，
7?674?3?36? P???3??，
7?6?5354?3?2?33?， P???4??7?6?5?435P???1??
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