2012年四校联考第三次高考模拟考试 数学试卷（文史类）答案及评分标准
一、选择题： 题号 1 答案 C 2 D 3 B 4 D 5 D 6 D 7 B 8 C 9 C 10 D 11 A 12 B 二、填空题：
13. ?xx?1? 14. 43? 15. 10 16. 三、解答题：
2217. (Ⅰ)Sn?n?Sn?Sn?1??n?n?1? ……………………………………… 2分
?2
nn?1Sn?1?n?1nSn?n
bn?bn?1?n …………………………………………… 6分
(Ⅱ) b1?1, bn?bn?1?n, bn?1?bn?2?n?1 , ? , b2?b1?2累加得
bn?n?n22 ……………………………………… 10分
?Sn?n22 ,an?Sn?Sn?1?2n?12?n?2?…………………… 11分
经检验a1?12符合an?2n?12,?an?2n?12 ……… 12分
18. (Ⅰ) 设标号为1的球为A,B,标号为2的球为C,D
所有基本事件包括: (A,A),(B,B),(C,C),(D,D),(A,B),(A,C),(A,D) (B,C),(B,D),(CD),(D,A),(C,A),(B,A),(D,B),(C,B),(D,C)共16种.
1
设事件A1表示数字和为2,包括: (A,A),(B,B)(A,B),(B,A)共4种,P(A1)?416?14
设事件A2表示数字和为3,包括: (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(D,A),(C,A)
81612D,B),(C,B)共8种,P(A2)??
设事件A3表示数字和为4,包括: (C,C),(D,D),(CD),(D,C)共4种,
P(A3)?416?14?数字和为3时概率最大. ……………………………… 6分
(Ⅱ) 所有基本事件包括: (A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(CD)共6种. 设事件B1表示数字和为3, 包括: (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),P(B1)?1646?23
设事件B2表示数字和为4, 包括: (CD),P(B2)?56
数字和大于2的概率为P(B1)?P?B2??
56答:数字和为3时概率最大,数字和大于2的概率为 ……… 12分
19. (Ⅰ)设AC 交BD于O,连接OE
?PD?ABCD,?PD?AC,?BD?AC
?AC?PBD,又AC?AEC,?ACE?PBD……………………………… 6分
(Ⅱ) VP?ABD?13?PD?S?ABD?PEEB23
?VE?ABD?VA?PDE,,即
?1 ……… 12分
2
20. (Ⅰ) 化简得： ?1??2?x2?y2?2?1??2?
①???1时方程为y?0轨迹为一条直线
②??0时方程为x2?y2?2轨迹为圆
③????1,0???0,1?时方程为
x22?y2221??2??y2?1轨迹为椭圆
④?????,?1???1,???时方程为
x22?2??1???1轨迹为双曲线.
……………………………… 6分
(Ⅱ)???
22,?P点轨迹方程为
x22?y2?1.
S?OBE:S?OBF?x1:x2
S?OBES?OBF?S?OBE 由已知得?1,则
x1x2?x1?1,?12?x1x2?1.
设直线EF直线方程为y?kx?2，联立方程可得：?1?2k2?x2?8kx?6?0
2 ??0,?k?32, ?x1,x2同号??,x1x2?61?2k22x1x2?x1x2
x1?x2??8k1?2k2 ………………………… 8分
32k22 设
x1x22?m ,则
?x1?x2?x1x2??m?1?2m?3?6k?9???4,? ?2?
32?k?2710,k???6330,?210???????3306????．．…………………… 12分 ,???102?? 3
21. (Ⅰ)当a?1时，g(x)?x?3x?lnx，g?(x)?x?1或x?12122x?3x?1x2?0
。函数f(x)的单调增区间为(0,),(1,??)……………… 3分
2(Ⅱ) g(x)?x2?(2a?1)x?alnx，
ax2x?(2a?1)x?ax2g?(x)?2x?(2a?1)???(2x?1)(x?a)x?0
当a?1，x??1,e?,g?(x)?0,g(x)单调增。g(x)min??2a
当1?a?e，x?(1,a),g?(x)?0,g(x)单调减. x?(a,e),g?(x)?0,g(x)单调增。
g(x)min?g(a)??a?a?alna
2当a?e，x??1,e?,g?(x)?0,g(x)单调减，g(x)min?g(e)?e2?(2a?1)e?a ?2a,a?1??2g(x)???a?a?alna,1?a?e………………………………………… 8分
?e2?(2a?1)e?a,a?e?（Ⅲ）由题意，不等式f(x)?g(x)在?,e?上有解，
e??2?1?即x?2x?a(lnx?x)?0在?,e?上有解
e???1?2x?x?1??1?)在当x??,e?时，lnx?x?0，?a?(有解 ?e,e?lnx?xe????2令h(x)?2x?x2lnx?x?，则h?(x)?(1?x)(2lnx?x?2)(lnx?x)2
当x??,e?时，2lnx?x?2?0
?e??1 4
?1??当x??,1?,h?(x)?0，此时h(x)是减函数；
?e?当x??1,e?,h?(x)?0，此时h(x)是增函数。
11?2e?h()?2?0h(e)?ee?e2e?e1?e22?0
e?2ee?2e?1? ,?a??当x??,e?时，?h(x)?max?e?1e?1e??2?e?2e?所以实数a的取值范围为????,e?1?。………… 12分
??222. （Ⅰ）证明：AB 为直径，??ACB??CAB??ABC??2,
?2，
?2??PAC??ABC??PAC??CAB?
4分
?PA?AB,AB为直径，?PA为圆的切线…
（Ⅱ）CE?6k,ED?5k,,AE?2m,EB?3m ?AE?EB?CE?ED?m?5k BD3m??BD?45 ??AEC∽?DEB?86k??CEB∽?AED?BCAD22?25m?6425m?8022?(3km)?m?2,k?BDAB?22554510
?255?AB?10,BD?45在直角三角形ADB中sin?BAD?255
??BCE??BAD?sin?BCE?…………………… 10分
5
?x???23. （Ⅰ）??y????x???（Ⅱ）??y???23232?tcos? (t为参数）…………………………………… 4分
?tsin??tcos??tsin?3232 (t为参数）代入x2?y2?1，得
t?(3cos??3sin?)t?2?0 ，??0?sin(???6)?63
1PM?1PN?1t1?1t2?t1?t2t1t2?(3cos??3sin?)2?3sin(???6)??2,3
?…………10分
24.（Ⅰ）M??x|0?x?1?，a,b?M,
……………………………………… 4分
?0?a?1,0?b?1
ab?1?a?b?(a?1)(b?1)?0?ab?1?a?b（Ⅱ）h?2a,h?a?bab,h?2b2
h?34(a?b)ab?4(a?b)ab2?4?2abab?8
h??2,???………………………………………… 10分
6