（Ⅱ）∵an?(n?1)2n，?Sn?2?21?3?22?????n?2n?1?(n?1)?2n，
2Sn?2?22?3?23?????n?2n?(n?1)?2n?1，
两式相减得：
?Sn?4?(2?2?????2)?(n?1)?2
23nn?14(1?2n?1)?4??(n?1)?2n?1??n?2n?11?2∴ Sn?n?2n?1 ?????12分
20．证明：（Ⅰ）连结A1C1，设A1C1?B1D1?O1，连结AO1，
?ABCD?A1B1C1D1是正方体, ?A1ACC1是平行四边形,
?AC//A1C1, 又O1,O分别是A1C1,AC的中点，
?AO//O1C1, ?AOC1O1是平行四边形,
?C1O//AO1 ?????
4分
?AO1?平面AB1D1，C1O?平面AB1D1?C1O//平面AB1D1． ?????6
分
（Ⅱ）?CC1?平面A1B1C1D1,?CC1?B1D1,
又A1C1?B1D1，?B1D1?平面A1C1C,
?A1C?B1D1, ?????
10分
同理可证A1C?AB1, ?????11分
又B1D1?AB1?B1,
?A1C?平面AB1D1 , ?????
13分
(其它解答酌情给分)
21．解：（Ⅰ）∵MN??2a?22，∴a?∴e?2，又∵PM?2MF，
2222，∴c?1，b?a?c?1， 2x2?y2?1 ?????6∴椭圆的标准方程为2分
(Ⅱ)由题知：F(?1,0)，P(?2,0)，lAB：y?6(x?2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 6
- 6 -
?x2?y2?1??2由?2 消y得：2x?2x?1?0， ?????9?y?6(x?2)?6?分
114． (x1?x2)2?4x1x2?621点F到直线AB的距离：d?， ?????12
7∴ AB?1?分
∴S?ABF?分
22．解：（Ⅰ）由f(x)??x3?x2?b，得f?(x)??3x2?2x??x(3x?2)，
令f?(x)?0，得x?0或
114122，即三角形ABF面积为． ?????14???422472． 3当x变化时，f?(x)及f(x)的变化如下表：
x f?(x) f(x) ?1 2 1(?,0) 2- 0 0 2(0,) 3+ 2 30 2(,1) 3- 1f(?) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 2132412?b，?f(?)?f()， 由f(?)??b，f()?2832723133即最大值为f(?)??b?，?b?0． ?????4
288分
（Ⅱ）由g(x)??x2?(a?2)x，得(x?lnx)a?x2?2x．
?x?[1,e],?lnx?1?x，且等号不能同时取，?lnx?x，即x?lnx?0
x2?2xx2?2x?a?)min． ?????6恒成立，即a?(x?lnxx?lnx分
x2?2x(x?1)(x?2?2lnx),(x?[1,e])，求导得，t?(x)?令t(x)?，
x?lnx(x?lnx)2当x?[1,e]时，x?1?0,0?lnx?1,x?2?2lnx?0，从而t?(x)?0，
- 7 -
?t(x)在[1,e]上为增函数，?tmin(x)?t(1)??1，?a??1． ?????8
分
??x3?x2,x?1（Ⅲ）由条件，F(x)??，
x?1?alnx,假设曲线y?F(x)上存在两点P，Q满足题意，则P，Q 只能在y轴两侧， 不妨设P(t,F(t))(t?0)，则Q(?t,t3?t2)，且t?1．
??POQ是以O为直角顶点的直角三角形，?OP?OQ?0，
??t2?F(t)(t3?t2)?0 ??????????(?)，
是否存在P，Q等价于方程(?)在t?0且t?1时是否有解． ?????10分
①若0?t?1时，方程(?)为?t2??t3?t2t3?t2?0，化简得t4?t2?1?0，此方程无解；
②若t?1时，方程(?)为?t2?alnt?t3?t2?0，即
??????1??t?1?lnt， a1设h?t???t?1?lnt?t?1?，则h??t??lnt??1，
t显然，当t?1时，h??t??0， 即h?t?在?1,???上为增函数，
?h?t?的值域为?h?1?,???，即?0,???，?当a?0时，方程?*?总有解．
?对任意给定的正实数a，曲线y?F(x) 上总存在两点P，Q，使得?POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上． ?????14分
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