开映射定理 设X,Y都是B空间，若T?l?X,Y?是一个满射，则T是开映射。
Hahn—Banach延拓定理 设X是B*空间，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函f满足：
?1?f?x??
f0?x???x?X0??延拓条件?；f00?2?f0??保范条件?，
其中f0表示f0在X0上的范数。
闭图像定理 设X,Y都是B空间，若T是X?Y的闭线性算子，并且D?T?是闭的，则T是连续的。
共鸣定理 设X是B空间，Y是B*空间，如果 W?l?X,Y?,使得 suAxp????x?XA?W?，那么存在常数M，使得
A?M??A?W? 三 证明题
1.若(x,?)是度量空间，则d?证明：?x,y,z?X
显然有 （1）d(x,y)?0，d(x,y)?0当且仅当x?y。 （2）d(x,y)?d(y,x) （3）由f(t)?t1?t?1?11?t?1??也使X成为度量空间。
，(t?0)关于t单调递增，得
d(x,z)??1??(x,z)?(x,z)(yz,)
?1?x(y,?)?y(z,)?(x,y?)? ??1??(x,y)?1??(x,y)?(y,z)
y(z,) ?d(x,y)?故d也是X上的度量。
d(y, z)2， 设H是内积空间，xn,x,yn,y?H，则当xn?x,yn?y时，(xn,yn)?(x,y)，即
内积关于两变元连续。
证明：|(xn,yn)?(x,y)|2?|(xn?x,yn?y)|2?||xn?x||?||yn?y|| 已知 xn?x,yn?y，即||xn?x||?0,||yn?y||?0。 故有 |(xn,yn)?(x,y)|2?0 即 (xn,yn)?(x,y)。
3.考虑C[a,b]上的非线性积分方程 x(t)???bak(t,s,x(s)?)d?s (t其中??C[a,b],k(t,s,?)是[a,b]?[a,b]?R上的连续函数，满足
,1?)k(t,?s2,?)|b?1?|?2 |k(t,s?|证明当|?|足够小时，此方程存在唯一解x0?C[a,b]。 证明：令
Tx(t)??(t?)??ba )dsk(t,s,x(s)则T是C[a,b]?C[a,b]的算子。并且?x1,x2?C[a,b]
|Tx1(t)?Tx2t(?)?|?|kts(x,1s,ds(?)?)?ktsx(2s,ds, ())aabb| ?|?|?|k(t,s,x1(s))?k(t,s,x2(s))|ds
ab ?|?|?|b||x1(s)?x2(s)|ds
ab ?|?||b|(b?a)||x1?x2|| 所以||Tx1?Tx2||?|?||b|(b?a)||x1?x2||。
故当|?|足够小时，T为C[a,b]到C[a,b]的压缩算子，由压缩映射原理，存在唯一的
x0?C[a,b]，使得Tx0?x0，也即此方程存在唯一解x0.
24.设Tx(t)?tx(t),若T是从L2[0,1]?L1[0,1]的算子，计算||T||若;T是从
L2[0,1]?L2[0,1]的算子再求||T||。
解：（1）当T是从L2[0,1]?L1[0,1]的算子。
||Tx1|?|15?102||x2|| t|?x(t)d|?t5所以 ||T||?。
取x0(t)?25t，则||x0||2?1. ||Tx0||1??105tdt?415.
所以 ||T||?151。
故有 ||T?||5 .（2）当T是从L2[0,1]?L2[0,1]的算子时
||Tx||2?(?tx(t)dt)01421/2?(?x(t)dt)0121/2?||x||2
所以 ||T?|| 1.1?n,(1??t?1)??n取xn(t)??，则||xn||2??0,0?t?1?1?n?1?(1?tdt)41/2n(?11?1/n1dt)1/2?1。
1n||Txn||2?n(?1)51?1/n?n[5]1/2
1n)51?(1?1n)51?(1?]1/2又 lim||Txn||2?limn??n??n[5?lim[n??5?1n]1/2?1
所以 ||T?|| 1.故有||T||?1. 5
( 2)．求C??1,1?线性泛函f(x)??0?1x(t)dt??x(t)dt001?1的范数。
10解 由
f(x)??0?1x(t)?d?t10x(f)?t?dt(x?)f?tdt(?)xf t2dtx???1,??f?2。设xn??1,????nt,??1?t??,1??n?1??t???1,??n??t??11,nn
则xn?C??1,1?，且
f(xn)?1nx?1,n?1,2,?1n
n??1??nt?dt??0??nt?dtn01?0?1x(t)dt??x(t)dt01?2(1?)??2(1?1n)?12n?12n?2?。
f?f(xn)?2?1n由此，
。令n??。f?2,这样f?2。
6 线性算子?在D上连续??在D上有界。
证 充分性：因为?在D上有界，故?M?0,?x?D 成立 Tx?Mx，即
Tx?T??Mx??，故?在?点连续，从而?在D上连续；
必要性：若?在D无界，
?n?0,?xn?1n?D,s.t.nTx?n 令
nxyn?xnnxn， 则
yn?xnnxn?0，即y?0n。又因为?连
续，故Tyn?T????Tyn?0，这与
Tyn?Txnnxn?1 矛
盾，故假设不成立，即?在D上有界。
7 Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。
证 设闭线性子空间M?X?H? ，依正交分解定理，?x?X，存在唯一的分解
y?M,z?M?，使得 x?y?z。
记 PMx?y:X?M 称PM为正交投影算子。
x1?PMx1?z1?①PM是线性算子 令?则?x1??x2??PM??PM???z1??z2?
x2?PMx2?z2??PM??x1??x2???PMx1??PMx2
②有界性 ?x?X 有PMxPM是有界的线性算子。
2?x2?z2?x2 ?PMx?x； 由①和②知，
四论述题：
1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。
2、证明||x||?maxx(t)为c[a,b]上范数，并论述证明范数的一般步骤。
t?[a,b]3 设C0表示极限为0 的实数列全体，按通常的加法和乘法，以及
x?sup?ii，x???1，?2，?，?n??构成Banach空间，证明：?C???l
10??n?1，，23，?，0，0，?1，0?0?，证明：令en??0则en?C0，?????n??。对任意f??C0??，
定义Tf???。 ?f?e?,?f?e?，1n以下先证Tf记?nf?l1，且Tf?f
?f?en?，?n?sign?n，x??n??f???iei???i?1?nn??e，则xiii?1nn?C，且
2?xn?1，n?1，，
?xn????ii?1i???
ii?1由于f?xn?证明了Tf?fxn?f。因此??ii?1n?f，令n??，??ii?1n?f。这就
?l1，且
Tf?f
，定义
fC0n再证对任意
y???1,?2,??n??上线性泛函
，
f：若此
x???1，?2，?，?n??，
1则
?x????i?ii?1因
Tf???????f?e?,?f?e?，1nn,?2,??n???yn。
y又因为因此ff?x?????ii?1i?sup?ii??i?1if?x
?f??C0??，且f?y?Tf，于是Tf
由以上证明可知。T是?C??到l1上的同构映射。而在同构意义下，
0?C0??
?l1。证毕