G'(x)?1?1x?1??0(?x?1) xx∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0 ∴当x?1时，G(x)?G(1)?0
a?ba?b?ln bb1a?ba?b?ln?.………………………………………………14分 综上所述，
a?bbb∴x?lnx 即8．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90，
yAB、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，
!ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、
xD两点．
(1) 求双曲线E的方程；
(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线EBODC相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MP??PN，问在x轴上是否存在定点G，使
BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
x2y2解：(1) 设双曲线E的方程为2?2?1(a?0,b?0)，
ab则B(?c,0),D(a,0),C(c,0)．
由BD?3DC，得c?a?3(c?a)，即c?2a． ?|AB|?|AC|?16a,?∴?|AB|?|AC|?12?4a, ?|AB|?|AC|?2a.?222yABODCx （3分）
解之得a?1，∴c?2,b?3．
y2∴双曲线E的方程为x??1．
32（5分）
(2) 设在x轴上存在定点G(t,0)，使BC?(GM??GN)．
y设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． 由MP??PN，得y1??y2?0． y即???1
y2BGO ① （6分）
CPNx∵BC?(4,0)，
M - 6 -
高考专题
GM??GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)， ∴BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)． 即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② 把①代入②，得
2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0
2（8分）
③ （9分）
y2把x?m?ky代入x??1并整理得
3(3k2?1)y2?6kmy?3(m2?1)?0
其中3k2?1?0且??0，即k2?1且3k2?m2?1． 3
（10分）
?6km3(m2?1) y1?y2?2． ,yy1?23k?13k2?1代入③，得
6k(m2?1)6km(m?t) ??0，
3k2?13k2?1化简得 kmt?k． 当t?1时，上式恒成立． m
（12分）
1因此，在x轴上存在定点G(,0)，使BC?(GM??GN)．
m9．(本小题满分14分)
已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1
21?C1na1?Cna2?的常数），记f(n)?2nSnn?Cnan．
(1) 求an；
(2) 试比较f(n?1)与
p?1f(n)的大小（n?N*）； 2p(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)??f(2n?1)2n?1p?1??p?1???1??（n?N*）． ??，p?1?2p?????解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，
①
②
∴(1?p)Sn?1?p?pan?1． ②－①，得
(1?p)an?1??pan?1?pan，
即an?1?pan．
高考专题
（3分）
在①中令n?1，可得a1?p．
∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn． p(1?pn)p(pn?1)?(2) 由(1)可得Sn?．
1?pp?121?C1na1?Cna2?n22?Cnan?1?pC1n?pCn?nn?Cnp?(1?p)n?(p?1)n．
（4分）
21?C1na1?Cna2?∴f(n)?2nSnn?Cnanp?1(p?1)n??，
p2n(pn?1) （5分）
p?1(p?1)n?1?f(n?1)?． p2n?1(pn?1?1)p?1p?1(p?1)n?1f(n)??而，且p?1， 2pp2n?1(pn?1?p)∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?
p?1f(n)，（n?N*）． 2p （8分）
(3) 由(2)知 f(1)?p?1p?1f(n)，，f(n?1)?（n?N*）．
2p2pp?1p?12f(n?1)?()f(n?2)?2p2p2∴当n…2时，f(n)??(p?1n?1p?1n)f(1)?()． 2p2p∴f(1)?f(2)?p?1?p?1??f(2n?1)?????2p?2p??p?1?????2p?2n?1
2n?1p?1??p?1????1????， p?1?2p????? （10分）
（当且仅当n?1时取等号）． 另一方面，当n…2，k?1,2,,2n?1时，
p?1?(p?1)k(p?1)2n?k?f(k)?f(2n?k)????
p?2k(pk?1)22n?k(p2n?k?1)?p?1(p?1)k(p?1)2n?k …?2kk?p2(p?1)22n?k(p2n?k?1)p?12(p?1)n??p2np?12(p?1)n??p2n1 (pk?1)(p2n?k?1)1．
p2n?pk?p2n?k?1∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2．
p?12(p?1)n??2f(n)，∴f(k)?f(2n?k)…（当且仅当k?n时取等号）．（13分） p2n(pn?1)
- 8 -
高考专题
∴?k?12n?12n?112n?1f(k)??[f(k)?f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)．（当且仅当n?1时取等号）．
2k?1k?1综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)k?12n?12n?1p?1??p?1???1??（n?N*）．（14分） ??，p?1?2p?????高考专题