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考点10 利用导数研究函数的单调性、极值、最
值
一、选择题
1.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex?1的极值点,则f(x)的极小值为 ( ) A.-1
B.-2e?3 C.5e?3 D.1
【命题意图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.通过求极小值意
在考查学生单调性与导数的关系,以及运算能力.
【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)ex?1+(x2+ax-1)ex?1=[x2+(a+2)x+a-1]ex?1, 因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex?1,故f'(x)=(x2+x-2)ex?1,
令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调
递减,所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)e1?1=-1. 【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间,求导数f'(x). (2)求f(x)的拐点,即求方程f'(x)=0的根.
(3)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 2.(2017·浙江高考·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象