高等数学A 自测自检题解答提示 第9章
第9章 多元函数微分法及其应用
第一部分：必做题
一、选择填空题
1．设z?xy(x?0,x?1)，则
?z? ?xyxy?1 ，
?z??yxylnx．
222．设z?ln1?x?y在点?1,2?处的全微分是
??1?dx?2dy?3??i+j或写成．
1223．设f(x,y)??x?y?，则gradf(1,1)?24．f(x,y)的偏导数
?1,1?．
?f?f及在点(x,y)处存在且连续是f(x,y)在该点可微分的 ( C )． ?x?y(A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既非充分又非必要条件
5．f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在且fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，则点(x0,y0) ( D )．
(A) 不是极值点 (B) 是极大值点 (C) 是极小值点 (D) 是驻点
?x5?xy,x4?y4?0?446．设f(x,y)=?x?y，则fx?0,0??( B )．
?0,x4?y4?0? (A) 0 (B) 1 (C) ? (D) 不存在，但不是? 7．设x3?y3?z3?14?3xyz，求
?z?z,在?1,2,?1?处的值分别为( A )． ?x?y (A) 3， 5 (B) 5，3 (C) 0，5 (D) 3，0
二、计算题
?2z?2z1．设z?x?xsiny?e?ln2，求2,．
?x?x?y3y?z?3x2?siny,提示：由于?x2．设z??z?2zy?xcosy?e，所以2?6x,?y?x?2z?cosy ． ?x?yu?z,u?3x?2y,v?2x?3y，求． v?y提示： ??z?y32u3?2x?3y??2?3x?2y??z?u?z?v113y?u?． ???3???2??2??2???22vv?u?x?v?xvv???2x?3y??2x?3y?dz． dt第1页 共4页
3．设z?exy?t,x?sint,y?t2,求
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提示：
2dz?zdx?zdy?z112t2sint＝te ． ???＝yexycost?xexy2t?cost?sintetsint2t?dt?xdt?ydt?t2t2t
4．设u?exy?z,z?x2y，求
?u?u． ,?x?y提示：或，由
?u?u?exy?z?y?2xy? ， ?exy?z?x?x2? ?x?ydu?d?exy?z??exy?zd?xy?z??exy?z?dxy?z?＝exy?z?d?xy??dz??exy?zydx?xdy?dx2y＝exy?z2????
u?udx?dy 即得． ?ydx?xdy?2xydx+xdy?＝e?y?2xy?dx?e?x?x?dy???x?yxy?zxy?z2 5．设ez?z?xy?0，求
?z?z． ,?x?y提示：先求
?z?z?zyz?z??y?0，即?z．方程两边对x求偏导(y看作常数)，则有e．
?x?x?xe?1?x由对称性，得
?zx． ?z?ye?1?z?2z6．设z?f(xy,x?y)，其中f具有二阶连续偏导数，求,．
?x?x?y提示：
?z?f1??y?f2??1?yf1??f2?， ?x?2z???z?????x?f12??????x?f22???????x?y?f12???f22?? ?????yf1??f2???f1??y?f111??f211＝f1??xyf11?x?y?y??x??y???f12??． （注意：因此f具有二阶连续偏导数，因此f21）
7．求函数u?xyz在P0(1,?1,2)处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数． 提示：变化最快分增加最快和减少最快两种情况．参考教材第106页例4．
238．求曲线x?t,y??t,z?t上一点的切线, 使得与平面x?2y?z?4?0相平行．
2??2s?1,?2t,3t提示：所给曲线在t处的切线方向向量为??，由题意，s平行于平面，即垂直于所给平面的法
???1n?1?4t?3t2?0，解得t?1或t?． 线向量n??1,2,1?，因此数量积s?3?x?1y?1z?1??当t?1时，所求切线经过曲线上点?1,?1,1?，s??1,?2,3?，切线方程为． 1?23第2页 共4页
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11z?111??1x?1?9?27． s?3,?2,1当t?时，所求切线经过曲线上点?1,?,，，切线方程为????33927?3?21?y?
9．若曲面z?4?x2?y2上点P处切平面平行于平面2x?2y?z?1?0，求P的坐标．
??zPP提示：设的坐标为?x0,y0,z0?．则点处的法线向量为???x?P??z,,?1?，即??2x0,2y0,1?，而点P处
??yP?切平面的法线向量应平行于向量?2,2,1?．因此?2x0,2y0,1?平行于?2,2,1?，由平行向量的各分量对应成比例知x0?y0?1，从而z0?2，因此P的坐标是?1,1,2?．
10．试求球面x2?y2?z2?1上一点，使得该点到平面x?2y?2z?10?0距离最远． 提示：设所求的球面上的点为?x,y,z?，则该点到平面x?2y?2z?10?0距离为
d?x,y,z??最大值．
x?2y?2z?101???2??222?1x?2y?2z?10，因此所要求的是d?x,y,z?在条件x2?y2?z2?1下的3令F?x,y,z,???1x?2y?2z?10???x2?y2?z2?1?，则当x?2y?2z?10?0时，由 3??Fx??F?y???Fz???F?解得?x,y,z????,?1?2?x?032???2?y?0 32??2?z?03?x2?y2?z2?1?0??1?322?,?，但都不符合x?2y?2z?10?0．因此只能是x?2y?2z?10?0，所以 33?F?x,y,z,????1?x?2y?2z?10????x2?y2?z2?1?，由 3??Fx??F?y???Fz???F?解得?x,y,z????,?1???2?x?032??2?y?0 32???2?z?03?x2?y2?z2?1?0?1?322?2?13?122?7?12,?．由于d?,?,??，d??,,???，因此球面x2?y2?z2?1上33?3?3?333?3?33第3页 共4页
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到平面x?2y?2z?10?0距离最远的点是??,2??12,??． 3??33解法二：由于球面x2?y2?z2?1上每一点都有切平面，因此球面上到平面x?2y?2z?10?0距离最远的点是球面上与平面x?2y?2z?10?0平行的切平面的一个切点．球面上?x,y,z?这点处的法向量为?2x,2y,2z?，因此它平行于向量?1,?2,2?，由分量对应成比例，得x?k,y??2k,z?2k，代入到x2?y2?z2?1，解得
k??11,，因此切点是??1?332?12?,．2由于?,?,3?32??到x?2y?2z?10?0的距离为3?d?1??2???3?22???2?10?337??33，
2??12?,,???3??33到
x?2y?2z?10?0的距离为
12????2???2????33??d?3210313?12?2?， 所以??,,??即为球面x2?y2?z2?1上到平面33??33x?2y?2z?10?0距离最远的点．
第二部分：选做题（考试不作要求）
1?22(x?y)sin,x2?y2?0?22x?y1．设f(x,y)=?，讨论函数在(0,0)处的连续性、偏导数存在性与连续性、
22?0,x?y?0?可微性．
x2y2z2???1第一卦限上一点，使得过该点的切平面与三个坐标平面所围立体体积最小． 2．求椭球面3453．设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数，且z?f?x?y22??2z?2z满足等式2?2?0．
?x?y (Ⅰ) 验证f???u??f??u??0． (Ⅱ) 若f?1??0,f??1??1，求函数f?u?的表达式． u第4页 共4页